EP49 : ฟังก์ชันลอการิทึมและสมบัติของลอการิทึม

🎯

EP49 • Foundation Mathematics

ฟังก์ชันลอการิทึมและสมบัติของลอการิทึม

เรียนรู้ว่าลอการิทึมคือการถามหาเลขชี้กำลัง พร้อมใช้สมบัติช่วยย่อ ขยาย และแก้สมการอย่างเป็นระบบ

เป้าหมาย

แปลงรูปเลขยกกำลังกับลอการิทึม ใช้สมบัติ log และแก้สมการพื้นฐานได้อย่างถูกต้อง

❓

1. ปัญหานำ

ต้องยกกำลัง 2 ด้วยเลขใดจึงได้ 32

2⁵=32

เขียนในรูปลอการิทึมได้ว่า

log₂32=5

ดังนั้น log คือการถามว่า “ฐานนี้ต้องยกกำลังเท่าใดจึงได้จำนวนที่กำหนด”

⇄

2. ความสัมพันธ์ระหว่างเลขยกกำลังกับลอการิทึม

aˣ=y ⇔ logₐy=x

ตัวอย่าง

3⁴=81 ⇔ log₃81=4

จำง่าย

ฐานยังเป็นตัวเดิม เลขชี้กำลังย้ายมาเป็นคำตอบ และผลลัพธ์ย้ายเข้าไปอยู่ใน log

a

3. เงื่อนไขของลอการิทึม

สำหรับ logₐx ในระบบจำนวนจริง ต้องมี

a>0

a≠1

x>0

ข้อสอบชอบถาม

log ของศูนย์และจำนวนลบไม่มีความหมายในระบบจำนวนจริง

0,1

4. ค่าพื้นฐานที่ต้องจำ

logₐ1=0

logₐa=1

logₐ(aⁿ)=n

a^(logₐx)=x

เมื่อฐานและลอการิทึมตรงกัน ทั้งสองกระบวนการจะย้อนกัน

×

5. สมบัติผลคูณ

logₐ(MN)=logₐM+logₐN

ตัวอย่าง

log₂(8×4)=log₂8+log₂4=3+2=5

ห้ามใช้ผิด

log(M+N) ไม่เท่ากับ log M + log N

÷

6. สมบัติผลหาร

logₐ(M/N)=logₐM−logₐN

ตัวอย่าง

log₃(27/3)=3−1=2

ผลหารเปลี่ยนเป็นการลบ

n

7. สมบัติเลขชี้กำลัง

logₐ(Mʳ)=r logₐM

ตัวอย่าง

log₂(8²)=2log₂8=6

log₃√3=log₃(3¹/²)=1/2

↔

8. การขยายและการยุบลอการิทึม

ขยาย

logₐ(x²y/z)=2logₐx+logₐy−logₐz

ยุบ

2logₐx+logₐy−logₐz=logₐ(x²y/z)

ก่อนยุบต้องตรวจว่าสมาชิกภายใน log เป็นบวก

ฐาน

9. สูตรเปลี่ยนฐาน

logₐb=log_cb/log_ca

นิยมเปลี่ยนเป็นฐาน 10 หรือฐาน e เพื่อใช้เครื่องคิดเลข

log₂8=log 8/log 2=3

log, ln

10. ลอการิทึมสามัญและธรรมชาติ

log x โดยทั่วไปหมายถึง log₁₀x
ln x หมายถึง logₑx

log 1000=3

ln e=1

ต้องดูบริบทของโจทย์และเครื่องคิดเลข

📈

11. กราฟฟังก์ชันลอการิทึม

y=logₐx

โดเมน x>0
เรนจ์เป็นจำนวนจริงทั้งหมด
ผ่านจุด (1,0)
มีเส้นกำกับแนวดิ่ง x=0
a>1 กราฟเพิ่ม
0<a<1 กราฟลด

กราฟเป็นฟังก์ชันผกผันของ y=aˣ และสะท้อนกันผ่านเส้น y=x

=

12. การแก้สมการลอการิทึม

แบบที่ 1 เปลี่ยนเป็นเลขยกกำลัง

log₂x=5 ⇒ x=2⁵=32

แบบที่ 2 รวม log ก่อน

log₂x+log₂(x−2)=3

log₂[x(x−2)]=3

x(x−2)=8

ต้องตรวจเงื่อนไข x>0 และ x−2>0 หลังแก้สมการเสมอ

1–1

13. สมบัติหนึ่งต่อหนึ่ง

เมื่อฐานเดียวกันและเป็นฐานที่ถูกต้อง

logₐM=logₐN ⇒ M=N

ตัวอย่าง

log₃(x+1)=log₃7 ⇒ x+1=7 ⇒ x=6

พร้อมตรวจว่า x+1>0

⚡

14. เทคนิคทำข้อสอบ

แปลง log เป็นเลขยกกำลังก่อนเมื่อค่าชัดเจน
ตรวจฐาน a>0 และ a≠1
ตรวจจำนวนภายใน log ต้องมากกว่า 0
ผลคูณเปลี่ยนเป็นบวก ผลหารเปลี่ยนเป็นลบ
เลขชี้กำลังย้ายลงมาเป็นตัวคูณ
อย่าแยก log ของผลบวกหรือผลต่าง
แก้สมการเสร็จต้องแทนกลับตรวจโดเมน

✏️

15. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

จงหาค่า log₂64

ดูเฉลย

2⁶=64
ตอบ 6
จงหาค่า log₃81−log₃9

ดูเฉลย

4−2=2

หรือ log₃(81/9)=log₃9
ตอบ 2
จงขยาย log₂(x³y/√z)

ดูเฉลย

3log₂x+log₂y−(1/2)log₂z

โดย x,y,z ต้องเป็นบวก
จงแก้สมการ log₅(x−1)=2

ดูเฉลย

x−1=5²=25
ตอบ x=26
จงแก้สมการ log₂x+log₂(x−2)=3

ดูเฉลย

log₂[x(x−2)]=3

x²−2x=8 ⇒ x²−2x−8=0

(x−4)(x+2)=0

ได้ x=4 หรือ −2 แต่ต้องมี x−2>0

ตอบ x=4

🎓

16. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ข้อความ log₂8=3 มีความหมายตรงกับข้อใด A. 2³=8 B. 3²=8 C. 8²=3 D. 2⁸=3

ดูคำอธิบาย

log₂8=3 หมายถึง 2 ยกกำลัง 3 เท่ากับ 8

ตอบ A

ข้อ 2 ค่าของ log₁₀100 เท่ากับเท่าใด A. 1 B. 2 C. 10 D. 100

ดูคำอธิบาย

10²=100 จึง log₁₀100=2

ตอบ B

ข้อ 3 ค่าของ log₂32 เท่ากับเท่าใด A. 4 B. 5 C. 8 D. 16

ดูคำอธิบาย

2⁵=32

ตอบ B

ข้อ 4 ค่าของ log₃1 เท่ากับเท่าใด A. 0 B. 1 C. 3 D. หาไม่ได้

ดูคำอธิบาย

ฐานใด ๆ ที่ถูกต้องยกกำลัง 0 จะเท่ากับ 1

ตอบ A

ข้อ 5 ค่าของ log₅5 เท่ากับเท่าใด A. 0 B. 1 C. 5 D. 25

ดูคำอธิบาย

5¹=5

ตอบ B

ข้อ 6 ฐานของลอการิทึมต้องมีเงื่อนไขใด A. a<0 B. a=1 C. a>0 และ a≠1 D. a เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น

ดูคำอธิบาย

ฐานต้องเป็นบวกและไม่เท่ากับ 1

ตอบ C

ข้อ 7 จำนวนภายใน logₐx ต้องมีเงื่อนไขใด A. x>0 B. x≥0 C. x≠1 D. x เป็นจำนวนเต็ม

ดูคำอธิบาย

ลอการิทึมในจำนวนจริงนิยามเมื่อ x>0

ตอบ A

ข้อ 8 ข้อใดไม่มีความหมายในจำนวนจริง A. log₂8 B. log₃1 C. log₁₀0 D. log₅25

ดูคำอธิบาย

จำนวนภายในลอการิทึมต้องมากกว่า 0

ตอบ C

ข้อ 9 ถ้า log₄x=3 แล้ว x เท่ากับเท่าใด A. 12 B. 16 C. 64 D. 81

ดูคำอธิบาย

x=4³=64

ตอบ C

ข้อ 10 ถ้า logₓ16=4 แล้ว x เท่ากับเท่าใด โดย x>0 และ x≠1 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

ดูคำอธิบาย

x⁴=16 จึง x=2 ตามเงื่อนไขฐานบวก

ตอบ A

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 สมบัติ logₐ(MN) ตรงกับข้อใด A. logₐM+logₐN B. logₐM−logₐN C. logₐM·logₐN D. logₐ(M+N)

ดูคำอธิบาย

ลอการิทึมของผลคูณเท่ากับผลบวกของลอการิทึม

ตอบ A

ข้อ 12 สมบัติ logₐ(M/N) ตรงกับข้อใด A. logₐM+logₐN B. logₐM−logₐN C. logₐN−logₐM D. logₐM/logₐN

ดูคำอธิบาย

ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่าง

ตอบ B

ข้อ 13 สมบัติ logₐ(Mʳ) ตรงกับข้อใด A. r+logₐM B. r logₐM C. (logₐM)ʳ D. logₐ(rM)

ดูคำอธิบาย

เลขชี้กำลังย้ายลงมาเป็นตัวคูณด้านหน้า

ตอบ B

ข้อ 14 log₂4+log₂8 เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

ดูคำอธิบาย

log₂4=2 และ log₂8=3 รวมเป็น 5

ตอบ C

ข้อ 15 log₃27−log₃3 เท่ากับเท่าใด A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

ดูคำอธิบาย

3−1=2 หรือ log₃(27/3)=log₃9=2

ตอบ B

ข้อ 16 2log₁₀10 เท่ากับเท่าใด A. 1 B. 2 C. 10 D. 20

ดูคำอธิบาย

log₁₀10=1 จึงได้ 2

ตอบ B

ข้อ 17 log₂(8×4) เท่ากับเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

ดูคำอธิบาย

8×4=32 และ log₂32=5

ตอบ C

ข้อ 18 log₅(125/5) เท่ากับเท่าใด A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

ดูคำอธิบาย

125/5=25=5²

ตอบ B

ข้อ 19 log₃√3 เท่ากับเท่าใด A. 1/3 B. 1/2 C. 1 D. 2

ดูคำอธิบาย

√3=3^(1/2)

ตอบ B

ข้อ 20 log₂(1/8) เท่ากับเท่าใด A. −3 B. −1 C. 1/3 D. 3

ดูคำอธิบาย

1/8=2⁻³

ตอบ A

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 สูตรเปลี่ยนฐาน logₐb คือข้อใด A. log_cb/log_ca B. log_ca/log_cb C. log_cb·log_ca D. log_c(a+b)

ดูคำอธิบาย

logₐb=log_cb/log_ca

ตอบ A

ข้อ 22 log₂8 เมื่อเปลี่ยนเป็นฐาน 10 เขียนได้ข้อใด A. log 2/log 8 B. log 8/log 2 C. log(8−2) D. log 16

ดูคำอธิบาย

ใช้สูตร log₂8=log 8/log 2

ตอบ B

ข้อ 23 ถ้า log 2≈0.3010 แล้ว log 20 เท่ากับประมาณเท่าใด A. 0.3010 B. 1.3010 C. 2.3010 D. 20.3010

ดูคำอธิบาย

log20=log(2×10)=log2+1=1.3010

ตอบ B

ข้อ 24 ถ้า log 2≈0.3010 และ log 3≈0.4771 แล้ว log 6 เท่ากับประมาณเท่าใด A. 0.1761 B. 0.7781 C. 1.4313 D. 1.7781

ดูคำอธิบาย

log6=log2+log3=0.7781

ตอบ B

ข้อ 25 สมการ log₂x=5 มีคำตอบเท่าใด A. 10 B. 25 C. 32 D. 64

ดูคำอธิบาย

x=2⁵=32

ตอบ C

ข้อ 26 สมการ log₃(x−1)=2 มีคำตอบเท่าใด A. 3 B. 8 C. 9 D. 10

ดูคำอธิบาย

x−1=3²=9 จึง x=10

ตอบ D

ข้อ 27 สมการ log₂x+log₂(x−2)=3 แปลงเป็นข้อใด A. x+(x−2)=8 B. x(x−2)=8 C. x/(x−2)=8 D. 2x−2=3

ดูคำอธิบาย

รวมลอการิทึมเป็น log₂[x(x−2)]=3

ตอบ B

ข้อ 28 จากสมการ log₂x+log₂(x−2)=3 คำตอบที่ถูกต้องคือข้อใด A. −2 B. 2 C. 4 D. 6

ดูคำอธิบาย

x(x−2)=8 ได้ x=4 หรือ −2 แต่เงื่อนไข x−2>0 จึงเหลือ x=4

ตอบ C

ข้อ 29 ถ้า logₐx=logₐy และ a>0, a≠1 แล้วสรุปได้อย่างไร A. x+y=0 B. x=y C. xy=1 D. x=−y

ดูคำอธิบาย

ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง

ตอบ B

ข้อ 30 กราฟ y=logₐx เมื่อ a>1 มีลักษณะใด A. ลดลงเมื่อ x เพิ่ม B. เพิ่มขึ้นเมื่อ x เพิ่ม C. เป็นเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด D. ไม่มีจุดตัดแกน x

ดูคำอธิบาย

เมื่อฐานมากกว่า 1 ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

ตอบ B

📌

17. สรุป

aˣ=y ⇔ logₐy=x

logₐ(MN)=logₐM+logₐN

logₐ(M/N)=logₐM−logₐN

logₐ(Mʳ)=rlogₐM

logₐb=log_cb/log_ca

ฐานต้องเป็นบวกและไม่เท่ากับ 1
จำนวนภายใน log ต้องมากกว่า 0
logₐ1=0 และ logₐa=1
ลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของเลขยกกำลัง
ผลคูณเป็นบวก ผลหารเป็นลบ และกำลังเป็นตัวคูณ
แก้สมการแล้วต้องตรวจโดเมนทุกครั้ง

จำเป็นขั้นตอน

ตรวจเงื่อนไข → แปลงเลขยกกำลังกับ log → ใช้สมบัติ → แก้สมการ → ตรวจคำตอบกับโดเมน

EP49 : ฟังก์ชันลอการิทึมและสมบัติของลอการิทึม

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ฟังก์ชันลอการิทึมและสมบัติของลอการิทึม

1. ปัญหานำ

2. ความสัมพันธ์ระหว่างเลขยกกำลังกับลอการิทึม

3. เงื่อนไขของลอการิทึม

4. ค่าพื้นฐานที่ต้องจำ

5. สมบัติผลคูณ

6. สมบัติผลหาร

7. สมบัติเลขชี้กำลัง

8. การขยายและการยุบลอการิทึม

9. สูตรเปลี่ยนฐาน

10. ลอการิทึมสามัญและธรรมชาติ

11. กราฟฟังก์ชันลอการิทึม

12. การแก้สมการลอการิทึม

13. สมบัติหนึ่งต่อหนึ่ง

14. เทคนิคทำข้อสอบ

15. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

16. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

17. สรุป