EP6 ความชันของเส้นตรง
เรียนรู้ความหมายและสูตรความชัน การหาความชันจากพิกัดสองจุดและกราฟ พร้อมจำแนกเส้นเอียงขึ้น เส้นเอียงลง เส้นนอน และเส้นตั้ง เพื่อปูพื้นฐานสู่สมการเส้นตรง เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก และภาคตัดกรวย
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
ความชันของเส้นตรง
เรียนรู้ความหมายของความชัน การหาความชันจากกราฟและพิกัดสองจุด พร้อมแปลความหมายว่าเส้นตรงเอียงขึ้น เอียงลง เป็นเส้นนอน หรือเป็นเส้นตั้ง
หาความชันของเส้นตรงได้ถูกต้อง อ่านทิศทางของกราฟได้ และนำความชันไปต่อยอดสู่สมการเส้นตรง เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก และภาคตัดกรวย
1. ปัญหานำ
กำหนดให้เส้นตรงผ่านจุด A=(1,2) และ B=(4,8) เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น 3 หน่วย ค่า y เพิ่มขึ้น 6 หน่วย เส้นตรงนี้มีความชันเท่าใด
ดังนั้น เมื่อเดินไปทางขวา 1 หน่วย เส้นตรงจะสูงขึ้น 2 หน่วย
2. ความชันคืออะไร
ความชันเป็นค่าที่บอกว่าเส้นตรงเอียงมากน้อยเพียงใด และเอียงขึ้นหรือเอียงลงเมื่อมองจากซ้ายไปขวา
ความชันบอกว่า เมื่อเดินไปทางขวา เส้นตรงจะขึ้นหรือลงกี่หน่วย
3. สูตรความชันจากจุดสองจุด
ถ้าเส้นตรงผ่านจุด A=(x₁,y₁) และ B=(x₂,y₂)
ตัวเศษคือผลต่างของค่า y และตัวส่วนคือผลต่างของค่า x
ถ้าตัวเศษใช้ y₂-y₁ ตัวส่วนต้องใช้ x₂-x₁ ห้ามสลับเฉพาะตัวใดตัวหนึ่ง
4. ตัวอย่างหาความชันจากจุดสองจุด
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน A=(2,3) และ B=(6,11)
ความหมายคือ เมื่อ x เพิ่มขึ้น 1 หน่วย ค่า y จะเพิ่มขึ้น 2 หน่วย
5. สลับลำดับจุดได้หรือไม่
สามารถสลับลำดับจุดได้ แต่ต้องสลับทั้งตัวเศษและตัวส่วนพร้อมกัน
ทั้งสองวิธีได้คำตอบเท่ากัน เพราะเครื่องหมายลบทั้งเศษและส่วนตัดกัน
ห้ามใช้ (11-3)/(2-6) เพราะลบค่า y และค่า x คนละทิศทาง
6. ความชันเป็นบวก
เส้นตรงจะเอียงขึ้นจากซ้ายไปขวา
- x เพิ่ม และ y เพิ่ม
- x ลด และ y ลด
- เศษและส่วนมีเครื่องหมายเหมือนกัน
มองจากซ้ายไปขวาแล้วเส้นขึ้น หมายถึงความชันเป็นบวก
7. ความชันเป็นลบ
เส้นตรงจะเอียงลงจากซ้ายไปขวา
- x เพิ่ม แต่ y ลด
- x ลด แต่ y เพิ่ม
- เศษและส่วนมีเครื่องหมายต่างกัน
มองจากซ้ายไปขวาแล้วเส้นลง หมายถึงความชันเป็นลบ
8. ความชันของเส้นนอน
เส้นตรงแนวนอนขนานกับแกน X จุดทุกจุดบนเส้นมีค่า y เท่ากัน
ดังนั้น เส้นตรงแนวนอนมีความชันเท่ากับศูนย์
ตัวอย่าง y=3 เป็นเส้นตรงแนวนอนที่ผ่านค่า y เท่ากับ 3
9. ความชันของเส้นตั้ง
เส้นตรงแนวตั้งขนานกับแกน Y จุดทุกจุดบนเส้นมีค่า x เท่ากัน
เนื่องจากไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ความชันของเส้นตั้งจึงไม่มีค่า หรือไม่กำหนด
เส้นนอนมีความชันเป็นศูนย์ แต่เส้นตั้งมีความชันไม่กำหนด
10. สรุปลักษณะของความชัน
| ลักษณะเส้นตรง | ค่าความชัน | ทิศทางจากซ้ายไปขวา |
|---|---|---|
| เอียงขึ้น | m>0 | สูงขึ้น |
| เอียงลง | m<0 | ต่ำลง |
| เส้นนอน | m=0 | ระดับคงที่ |
| เส้นตั้ง | ไม่กำหนด | ไม่มีการเปลี่ยนแปลงของ x |
11. หาความชันจากกราฟ
เลือกจุดสองจุดบนเส้นตรงที่อ่านพิกัดได้ชัดเจน แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากการเปลี่ยนแปลงแนวนอนและแนวตั้ง
ตัวอย่าง เดินไปทางขวา 4 หน่วย และสูงขึ้น 6 หน่วย
ถ้าเดินไปทางขวาแล้วลดลง 6 หน่วย ความชันจะเป็น -3/2
12. เปรียบเทียบความชันของเส้นตรง
เมื่อความชันเป็นบวก เส้นที่มีค่า m มากกว่าจะเอียงสูงขึ้นเร็วกว่า
เมื่อความชันเป็นลบ ให้เปรียบเทียบขนาดของค่าโดยไม่สนใจเครื่องหมายก่อน
แม้ -5 จะมีค่าน้อยกว่า -2 แต่เส้นที่มี m=-5 จะลดลงเร็วกว่า
พิจารณาค่าสัมบูรณ์ |m| ยิ่งมาก เส้นยิ่งชัน
13. ความชันของเส้นขนาน
เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกันจะเอียงในทิศทางเดียวกันและมีความชันเท่ากัน
ตัวอย่าง เส้นตรงที่มีความชัน 3 จะขนานกับเส้นตรงอีกเส้นที่มีความชัน 3
เส้นตั้งทุกเส้นขนานกัน แม้ว่าความชันของเส้นตั้งจะไม่กำหนด
14. ปูพื้นฐานเส้นตั้งฉาก
สำหรับเส้นตรงที่ไม่ใช่เส้นตั้งหรือเส้นนอน ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกัน ความชันจะเป็นจำนวนผกผันที่มีเครื่องหมายตรงข้าม
ตัวอย่าง ถ้าเส้นแรกมีความชัน 2 เส้นที่ตั้งฉากจะมีความชัน -1/2
หัวข้อนี้จะนำไปใช้ต่อในบทเส้นขนานและเส้นตั้งฉาก
15. ตัวอย่างประยุกต์
เส้นตรงผ่านจุด A=(-2,1) และ B=(4,-5) จงหาความชันและบอกทิศทางของเส้น
เนื่องจาก m เป็นลบ เส้นตรงจึงเอียงลงจากซ้ายไปขวา
เมื่อ x เพิ่มจาก -2 เป็น 4 แต่ y ลดจาก 1 เป็น -5 ความชันต้องเป็นลบ
16. เทคนิคทำข้อสอบ
- เขียนสูตร m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁) ก่อนแทนค่า
- จับคู่พิกัดของแต่ละจุดให้ถูกต้อง
- ลบค่า y และค่า x ไปในทิศทางเดียวกัน
- ใส่วงเล็บเมื่อแทนจำนวนลบ
- ย่อเศษส่วนให้ต่ำสุดก่อนตอบ
- ตรวจเครื่องหมายจากทิศทางของเส้น
- ค่า y เท่ากัน หมายถึงความชันเป็นศูนย์
- ค่า x เท่ากัน หมายถึงความชันไม่กำหนด
- ค่าสัมบูรณ์ของ m ยิ่งมาก เส้นยิ่งชัน
- เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
เมื่อลบจำนวนลบ ต้องเขียนวงเล็บ เช่น 4-(-2)=6 ไม่ใช่ 2
17. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
-
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด A=(1,2) และ B=(5,10)
ดูเฉลย
m=(10-2)/(5-1)
m=8/4=2
ตอบ 2
-
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด A=(-3,4) และ B=(2,-6)
ดูเฉลย
m=(-6-4)/(2-(-3))
m=-10/5=-2
ตอบ -2
-
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด P=(-4,3) และ Q=(6,3)
ดูเฉลย
ค่า y ของทั้งสองจุดเท่ากัน
m=(3-3)/(6-(-4))=0/10=0
ตอบ 0 เป็นเส้นตรงแนวนอน
-
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด P=(5,-2) และ Q=(5,7)
ดูเฉลย
ค่า x ของทั้งสองจุดเท่ากัน
m=(7-(-2))/(5-5)=9/0
ตอบ ความชันไม่กำหนด เป็นเส้นตรงแนวตั้ง
-
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน 3/4 ถ้าเดินไปทางขวา 8 หน่วย ค่า y จะเปลี่ยนแปลงเท่าใด
ดูเฉลย
3/4 หมายถึง ไปทางขวา 4 หน่วย แล้วขึ้น 3 หน่วย
เมื่อไปทางขวา 8 หน่วย ซึ่งเป็น 2 เท่า ค่า y จึงเพิ่ม 3×2=6 หน่วย
ตอบ เพิ่มขึ้น 6 หน่วย
18. แบบทดสอบท้ายบท 20 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับประยุกต์ ข้อ 11–20
19. สรุปท้ายบท
- ความชันใช้สัญลักษณ์ m
- สูตรความชันคือ m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)
- ความชันบวก หมายถึงเส้นเอียงขึ้นจากซ้ายไปขวา
- ความชันลบ หมายถึงเส้นเอียงลงจากซ้ายไปขวา
- เส้นนอนมีความชันเท่ากับ 0
- เส้นตั้งมีความชันไม่กำหนด
- ค่าสัมบูรณ์ของความชันยิ่งมาก เส้นยิ่งชัน
- เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
- เส้นตั้งฉากมีผลคูณของความชันเท่ากับ -1
เมื่อเข้าใจความชันแล้ว บทต่อไปจะนำความชันไปสร้างและอ่านสมการเส้นตรงในรูป y=mx+b