EP10 อสมการและค่าสัมบูรณ์
เรียนรู้การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว การกลับเครื่องหมายเมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ การเขียนคำตอบบนเส้นจำนวน และการแก้สมการกับอสมการค่าสัมบูรณ์ พร้อมแบบฝึกหัดและ Quiz
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
อสมการและค่าสัมบูรณ์
เรียนรู้ความหมายของอสมการ การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว การเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ การเขียนคำตอบบนเส้นจำนวน และการแก้สมการกับอสมการค่าสัมบูรณ์
เปรียบเทียบค่าที่ไม่เท่ากัน
แสดงช่วงของคำตอบ
คูณหรือหารต้องกลับเครื่องหมาย
ระยะห่างจากศูนย์
เป้าหมายการเรียนรู้
- เข้าใจความหมายของเครื่องหมายอสมการ
- แก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวได้
- รู้ว่าเมื่อใดต้องกลับเครื่องหมายอสมการ
- เขียนคำตอบบนเส้นจำนวนและในรูปช่วงได้
- เข้าใจค่าสัมบูรณ์ในความหมายของระยะห่าง
- แก้สมการค่าสัมบูรณ์ได้
- แก้อสมการค่าสัมบูรณ์พื้นฐานได้
1. อสมการคืออะไร
อสมการ คือประโยคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ ว่าจำนวนหรือนิพจน์สองข้างมีค่ามากกว่า น้อยกว่า หรือไม่เท่ากัน
| เครื่องหมาย | ความหมาย | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| > | มากกว่า | x > 3 |
| < | น้อยกว่า | x < 5 |
| ≥ | มากกว่าหรือเท่ากับ | x ≥ 2 |
| ≤ | น้อยกว่าหรือเท่ากับ | x ≤ 7 |
| ≠ | ไม่เท่ากับ | x ≠ 0 |
ปากกว้างของเครื่องหมายหันไปทางจำนวนที่มีค่ามากกว่า ส่วนปลายแหลมหันไปทางจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า
2. คำตอบของอสมการ
คำตอบของอสมการมักมีได้หลายค่า ต่างจากสมการที่มักต้องการหาค่าตัวแปรเฉพาะค่า
หมายถึง x เป็นจำนวนใดก็ได้ที่มากกว่า 4 เช่น 5, 6, 10, 100 หรือ 4.5
แต่ x = 4 ไม่เป็นคำตอบ เพราะเครื่องหมาย > ไม่รวมค่าที่เท่ากับ 4
หมายถึง x มากกว่าหรือเท่ากับ 4 ดังนั้น x = 4 เป็นคำตอบด้วย
3. การบวกและลบในอสมการ
สามารถบวกหรือลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้างได้ โดยไม่ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ
ตัวอย่างที่ 1
ลบ 5 ทั้งสองข้าง
x > 7
ตัวอย่างที่ 2
บวก 8 ทั้งสองข้าง
x ≤ 11
การบวกหรือลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้าง ไม่ทำให้ทิศทางของอสมการเปลี่ยน
4. การคูณและหารด้วยจำนวนบวก
เมื่อคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายอสมการยังคงเดิม
ตัวอย่างที่ 1
หารทั้งสองข้างด้วย 3
x < 6
ตัวอย่างที่ 2
คูณทั้งสองข้างด้วย 4
x ≥ 20
5. คูณหรือหารด้วยจำนวนลบต้องกลับเครื่องหมาย
เมื่อคูณหรือหารอสมการทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ ต้องกลับทิศทางของเครื่องหมายอสมการ
< เปลี่ยนเป็น >
≥ เปลี่ยนเป็น ≤
≤ เปลี่ยนเป็น ≥
ตัวอย่างที่ 1
หารทั้งสองข้างด้วย −2 และกลับเครื่องหมาย
x < −5
ตัวอย่างที่ 2
หารทั้งสองข้างด้วย −3 และกลับเครื่องหมาย
x ≥ −4
การย้ายพจน์ข้ามข้างไม่ได้ทำให้กลับเครื่องหมายอสมการ เครื่องหมายจะกลับเฉพาะเมื่อคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ
6. การแก้อสมการหลายขั้นตอน
ตัวอย่างที่ 1
3x > 15
x > 5
ตัวอย่างที่ 2
ลบ 5 ทั้งสองข้าง
−2x ≥ 6
หารด้วย −2 และกลับเครื่องหมาย
x ≤ −3
ตัวอย่างที่ 3
4x − 2x < 7 + 3
2x < 10
x < 5
7. อสมการที่มีวงเล็บและเศษส่วน
หากมีวงเล็บ ให้แจกแจงก่อน หากมีเศษส่วน ให้คูณด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วน
ตัวอย่างที่ 1
2x + 6 > 14
2x > 8
x > 4
ตัวอย่างที่ 2
x/3 ≤ 6
x ≤ 18
หากคูณเพื่อกำจัดตัวส่วน ต้องตรวจว่าจำนวนที่นำมาคูณ เป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบ
8. การแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน
การเขียนคำตอบบนเส้นจำนวนต้องพิจารณา ว่ารวมค่าที่จุดปลายหรือไม่
| อสมการ | จุดบนเส้นจำนวน | ทิศทาง |
|---|---|---|
| x > 3 | วงกลมโปร่งที่ 3 | ลูกศรไปทางขวา |
| x ≥ 3 | วงกลมทึบที่ 3 | ลูกศรไปทางขวา |
| x < 3 | วงกลมโปร่งที่ 3 | ลูกศรไปทางซ้าย |
| x ≤ 3 | วงกลมทึบที่ 3 | ลูกศรไปทางซ้าย |
มีเครื่องหมายเท่ากับร่วมด้วย ใช้จุดทึบ ไม่มีเครื่องหมายเท่ากับ ใช้จุดโปร่ง
9. อสมการสองชั้น
อสมการสองชั้นเป็นการกำหนดให้ตัวแปรอยู่ระหว่างสองค่า
หมายถึง x มากกว่า 2 และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 7
ตัวอย่าง
ลบ 1 ทุกส่วนของอสมการ
2 < 2x ≤ 10
หารทุกส่วนด้วย 2
1 < x ≤ 5
ต้องทำการดำเนินการเดียวกันกับทั้งสามส่วนของอสมการ
10. ความหมายของค่าสัมบูรณ์
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวน คือระยะห่างของจำนวนนั้นจากศูนย์ บนเส้นจำนวน ระยะห่างจึงไม่เป็นจำนวนลบ
ทั้ง 5 และ −5 อยู่ห่างจากศูนย์เป็นระยะ 5 หน่วยเท่ากัน
| ถ้า x ≥ 0 | |x| = x |
| ถ้า x < 0 | |x| = −x |
ค่าสัมบูรณ์ไม่ติดลบ เช่น |−8| = 8 ไม่ใช่ −8
11. สมการค่าสัมบูรณ์
หาก |x| = a โดย a เป็นจำนวนบวก จะมีคำตอบสองค่า
ตัวอย่างที่ 1
ดังนั้น x = 7 หรือ x = −7
ตัวอย่างที่ 2
กรณีที่ 1
x − 3 = 5 จึงได้ x = 8
กรณีที่ 2
x − 3 = −5 จึงได้ x = −2
ดังนั้น x = 8 หรือ x = −2
สมการ |x| = −3 ไม่มีคำตอบ เพราะค่าสัมบูรณ์ไม่สามารถมีค่าเป็นจำนวนลบ
12. อสมการค่าสัมบูรณ์แบบน้อยกว่า
อสมการ |x| < a หมายถึง x อยู่ห่างจากศูนย์ น้อยกว่า a หน่วย จึงอยู่ระหว่าง −a และ a
ตัวอย่างที่ 1
−4 < x < 4
ตัวอย่างที่ 2
−3 ≤ x − 2 ≤ 3
บวก 2 ทุกส่วน
−1 ≤ x ≤ 5
คำตอบอยู่ด้านในหรืออยู่ระหว่างสองค่า
13. อสมการค่าสัมบูรณ์แบบมากกว่า
อสมการ |x| > a หมายถึง x อยู่ห่างจากศูนย์ มากกว่า a หน่วย คำตอบจึงอยู่ด้านนอกช่วง
ตัวอย่างที่ 1
x < −6 หรือ x > 6
ตัวอย่างที่ 2
x + 1 ≤ −4 หรือ x + 1 ≥ 4
x ≤ −5 หรือ x ≥ 3
คำตอบแยกออกเป็นสองด้าน และเชื่อมด้วยคำว่า “หรือ”
14. ขั้นตอนทำข้อสอบแบบเร็ว
แบบฝึกหัดทบทวน 5 ข้อ
-
จงแก้อสมการ x + 6 > 15
A. x > 9 B. x < 9 C. x ≥ 21 D. x > 21
ดูเฉลย
ตอบ A. x > 9
ลบ 6 ทั้งสองข้าง
x > 15 − 6
x > 9 -
จงแก้อสมการ −3x ≤ 12
A. x ≤ −4 B. x ≥ −4 C. x ≤ 4 D. x ≥ 4
ดูเฉลย
ตอบ B. x ≥ −4
หารทั้งสองข้างด้วย −3 และกลับเครื่องหมาย
x ≥ −4 -
จงแก้อสมการ 2x − 5 < 9
A. x < 2 B. x < 7 C. x > 7 D. x ≤ 7
ดูเฉลย
ตอบ B. x < 7
2x < 14
x < 7 -
จงแก้สมการ |x − 2| = 6
A. x = 8 หรือ x = −4 B. x = 6 หรือ x = −6 C. x = 4 หรือ x = −8 D. x = 8 เท่านั้น
ดูเฉลย
ตอบ A. x = 8 หรือ x = −4
x − 2 = 6 หรือ x − 2 = −6
x = 8 หรือ x = −4 -
จงแก้อสมการ |x| ≤ 5
A. x ≤ −5 หรือ x ≥ 5 B. −5 ≤ x ≤ 5 C. −5 < x < 5 D. x < −5 หรือ x > 5
ดูเฉลย
ตอบ B. −5 ≤ x ≤ 5
|x| ≤ 5 หมายถึง x อยู่ห่างจากศูนย์ไม่เกิน 5 หน่วย
แนวข้อสอบปิดท้าย 10 ข้อ
สรุป 1 นาที
| บวกหรือลบ | ทำเหมือนกันทั้งสองข้าง เครื่องหมายคงเดิม |
| คูณหรือหารด้วยจำนวนบวก | เครื่องหมายคงเดิม |
| คูณหรือหารด้วยจำนวนลบ | ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ |
| จุดโปร่ง | ใช้กับ > หรือ < |
| จุดทึบ | ใช้กับ ≥ หรือ ≤ |
| |x| = a | x = a หรือ x = −a |
| |x| < a | −a < x < a คำตอบอยู่ด้านใน |
| |x| > a | x < −a หรือ x > a คำตอบอยู่ด้านนอก |
- จัดรูปอสมการเหมือนการแก้สมการทั่วไป
- กลับเครื่องหมายเฉพาะเมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ
- ตรวจว่าจุดปลายรวมอยู่ในคำตอบหรือไม่
- ค่าสัมบูรณ์หมายถึงระยะห่าง จึงไม่เป็นจำนวนลบ
- สมการค่าสัมบูรณ์มักต้องแยกพิจารณาสองกรณี
- ค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าใช้ “และ” มากกว่าใช้ “หรือ”
EP11 ทบทวนพื้นฐานคณิตศาสตร์และ Mini Mock Test