EP12 : แก่นของพหุนามกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์
เข้าใจแก่นของพหุนามกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์ ผ่านแนวคิดพื้นที่ การขยายวงเล็บ และการทำกำลังสองสมบูรณ์ พร้อมเชื่อมโยงสู่การแยกตัวประกอบ สมการกำลังสอง พาราโบลา จุดยอด และการหาค่าสูงสุดต่ำสุด
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
แก่นของพหุนามกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์
ถ้ามีสมการ
คุณจะแก้สมการนี้อย่างไร?
แยกตัวประกอบก็ยังไม่ได้ ย้ายข้างก็ยังไม่เห็นคำตอบ แล้วจะมีวิธีทำให้พหุนามด้านซ้าย กลายเป็นรูปที่แก้ได้ง่ายกว่านี้หรือไม่?
ถ้าเราอยากเปลี่ยน x² + 6x ให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์ จะต้องเติมพื้นที่อีกเท่าไร?
ตลอดบทนี้ เราจะใช้แนวคิดเรื่อง พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม เพื่อค้นหาคำตอบด้วยตัวเอง จนได้สูตรกำลังสองสมบูรณ์ โดยไม่ต้องเริ่มจากการท่องจำ
x² + 6x = 16
ให้เป็นสี่เหลี่ยม
(a+b)²
สมการและพาราโบลา
- ทำไมต้องเติม 9
- ทำไมต้องใช้ (6÷2)²
- สูตรกำลังสองสมบูรณ์เกิดขึ้นได้อย่างไร
- และเหตุใดวิธีนี้จึงใช้แก้สมการกำลังสองได้ทุกข้อ
แก่นของพหุนามกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์
แก่นของพหุนามกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์
ถ้ามีสมการ
คุณจะแก้สมการนี้อย่างไร?
แยกตัวประกอบก็ยังไม่ได้ ย้ายข้างก็ยังไม่เห็นคำตอบ แล้วจะมีวิธีทำให้พหุนามด้านซ้าย กลายเป็นรูปที่แก้ได้ง่ายกว่านี้หรือไม่?
ถ้าเราอยากเปลี่ยน x² + 6x ให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์ จะต้องเติมพื้นที่อีกเท่าไร?
ตลอดบทนี้ เราจะใช้แนวคิดเรื่อง พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม เพื่อค้นหาคำตอบด้วยตัวเอง จนได้สูตรกำลังสองสมบูรณ์ โดยไม่ต้องเริ่มจากการท่องจำ
x² + 6x = 16
ให้เป็นสี่เหลี่ยม
(a+b)²
สมการและพาราโบลา
- ทำไมต้องเติม 9
- ทำไมต้องใช้ (6÷2)²
- สูตรกำลังสองสมบูรณ์เกิดขึ้นได้อย่างไร
- และเหตุใดวิธีนี้จึงใช้แก้สมการกำลังสองได้ทุกข้อ
2. กำลังสองสมบูรณ์คืออะไร
กำลังสองสมบูรณ์ คือพหุนามที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป วงเล็บเดียวคูณตัวเองได้
เมื่อขยายวงเล็บ จะได้สูตรสำคัญ
ตัวอย่างที่ 1
พจน์กลาง 6x เกิดจาก 2(x)(3)
ตัวอย่างที่ 2
พจน์กลาง −10x เกิดจาก −2(x)(5)
กำลังสองสมบูรณ์ไม่ใช่เพียงพจน์หน้าและพจน์หลังเป็นกำลังสอง แต่พจน์กลางต้องมีรูป ±2ab ด้วย
3. ตรวจอย่างไรว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ให้ตรวจพหุนาม 3 พจน์ตามลำดับ
ตัวอย่างที่ 1
- x² เป็นกำลังสองของ x
- 9 เป็นกำลังสองของ 3
- 6x = 2(x)(3)
ดังนั้น
ตัวอย่างที่ 2
- 4x² เป็นกำลังสองของ 2x
- 9 เป็นกำลังสองของ 3
- −12x = −2(2x)(3)
ดังนั้น
เห็นพจน์หน้าและพจน์หลังเป็นกำลังสอง แล้วรีบสรุปว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ทั้งที่ยังไม่ได้ตรวจพจน์กลาง
4. สูตรมาจากพื้นที่สี่เหลี่ยม
ลองพิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว a + b พื้นที่ทั้งหมดเท่ากับ
เมื่อแบ่งพื้นที่ตามความยาว a และ b จะได้พื้นที่ย่อย 4 ส่วน
- พื้นที่ a² จำนวน 1 ส่วน
- พื้นที่ ab จำนวน 2 ส่วน
- พื้นที่ b² จำนวน 1 ส่วน
เมื่อนำพื้นที่ทั้งหมดมารวมกัน
จึงได้
พจน์ 2ab เกิดจากพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า ab จำนวนสองส่วน ไม่ได้เกิดขึ้นโดยไม่มีเหตุผล
5. ใครเป็นผู้ค้นพบ
แนวคิดเกี่ยวกับกำลังสองสมบูรณ์ไม่ได้เกิดจากคนเพียงคนเดียว แต่พัฒนาต่อเนื่องผ่านหลายอารยธรรม
| ยุคหรือบุคคล | บทบาทสำคัญ |
|---|---|
| ชาวบาบิโลน | ใช้วิธีที่ใกล้เคียงกับการทำกำลังสองสมบูรณ์เพื่อแก้ปัญหาพื้นที่และสมการ |
| ยูคลิด | อธิบายความสัมพันธ์ของกำลังสองผ่านรูปเรขาคณิตและพื้นที่ |
| อัลคอวาริซมี | อธิบายการแก้สมการกำลังสองอย่างเป็นระบบด้วยแนวคิด Completing the Square |
| เรอเน เดการ์ต | เชื่อมพีชคณิตกับระบบพิกัดและกราฟ |
ไม่ควรกล่าวว่ามีนักคณิตศาสตร์เพียงคนเดียวเป็นผู้ค้นพบ เพราะแนวคิดนี้ค่อย ๆ พัฒนามาหลายพันปี
6. ใช้ต่อยอดสู่การแยกตัวประกอบ
เมื่อเห็นพหุนามที่มีโครงสร้างกำลังสองสมบูรณ์ เราสามารถเขียนย้อนกลับเป็นวงเล็บได้ทันที
ตัวอย่างที่ 1
- x² เป็นกำลังสองของ x
- 16 เป็นกำลังสองของ 4
- 8x = 2(x)(4)
ตัวอย่างที่ 2
- 9x² เป็นกำลังสองของ 3x
- 16 เป็นกำลังสองของ 4
- −24x = −2(3x)(4)
หลังแยกตัวประกอบแล้ว ให้ขยายวงเล็บกลับ หากได้พหุนามเดิม แสดงว่าคำตอบถูกต้อง
7. ใช้ต่อยอดสู่สมการกำลังสอง
หากสมการกำลังสองอยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ การหาคำตอบจะทำได้ง่าย
ตัวอย่าง
แยกตัวประกอบ
เมื่อวงเล็บกำลังสองเท่ากับ 0 วงเล็บภายในต้องเท่ากับ 0
สมการกำลังสองสมบูรณ์มักมีคำตอบซ้ำ เช่น (x + 5)² = 0 มีคำตอบ x = −5 เพียงค่าเดียว
8. การทำกำลังสองสมบูรณ์
พหุนามบางตัวไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์โดยตรง แต่สามารถจัดรูปให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้
ตัวอย่าง
ครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x คือ 3 แล้วยกกำลังสองได้ 9
นำสัมประสิทธิ์ของ x หาร 2 แล้วยกกำลังสอง จากนั้นบวกและลบจำนวนเดียวกันเพื่อไม่ให้ค่าของนิพจน์เปลี่ยน
การเติมจำนวนเพื่อให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ต้องบวกและลบจำนวนเดียวกันเสมอ
9. เชื่อมสู่พาราโบลาและจุดยอด
สมการพาราโบลารูปทั่วไปคือ
เมื่อจัดให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ จะมองเห็นจุดยอดได้ง่ายขึ้น
ตัวอย่าง
เปรียบเทียบกับรูป
จะได้ h = −3 และ k = −4 ดังนั้นจุดยอดคือ
10. ใช้หาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด
กำลังสองของจำนวนจริงมีค่าไม่น้อยกว่า 0
ดังนั้น
จึงสรุปได้ว่า ค่าต่ำสุดของ x² + 6x + 5 คือ −4 ซึ่งเกิดเมื่อ x = −3
อีกตัวอย่างหนึ่ง
เพราะ −(x − 2)² มีค่าไม่เกิน 0 ค่าสูงสุดของนิพจน์จึงเท่ากับ 7 เมื่อ x = 2
เครื่องหมายหน้าวงเล็บเป็นบวก มักใช้หาค่าต่ำสุด
เครื่องหมายหน้าวงเล็บเป็นลบ มักใช้หาค่าสูงสุด
11. ขยายต่อไปหาอะไรได้บ้าง
การจัดพหุนามให้อยู่ในรูปวงเล็บกำลังสอง ทำให้โครงสร้างที่ซ่อนอยู่มองเห็นได้ชัดขึ้น
แบบฝึกหัดทบทวน 5 ข้อ
-
จงขยาย (x + 4)²
A. x² + 4x + 16 B. x² + 8x + 16 C. x² + 16 D. x² + 8x + 8
ดูเฉลย
ตอบ B. x² + 8x + 16
(x + 4)²
= x² + 2(x)(4) + 4²
= x² + 8x + 16 -
จงขยาย (2x − 5)²
A. 4x² − 20x + 25 B. 4x² − 10x + 25 C. 2x² − 20x + 25 D. 4x² + 20x + 25
ดูเฉลย
ตอบ A. 4x² − 20x + 25
(2x − 5)²
= (2x)² − 2(2x)(5) + 5²
= 4x² − 20x + 25 -
จงแยกตัวประกอบ x² + 12x + 36
A. (x + 6)² B. (x − 6)² C. (x + 3)² D. (x + 12)²
ดูเฉลย
ตอบ A. (x + 6)²
x² เป็นกำลังสองของ x
36 เป็นกำลังสองของ 6
และ 12x = 2(x)(6) -
จงเขียน x² + 8x + 7 ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
A. (x + 4)² + 9 B. (x + 4)² − 9 C. (x − 4)² + 9 D. (x − 4)² − 9
ดูเฉลย
ตอบ B. (x + 4)² − 9
x² + 8x + 7
= x² + 8x + 16 − 16 + 7
= (x + 4)² − 9 -
ค่าต่ำสุดของ x² − 6x + 13 เท่ากับเท่าใด
A. 2 B. 3 C. 4 D. 13
ดูเฉลย
ตอบ C. 4
x² − 6x + 13
= x² − 6x + 9 + 4
= (x − 3)² + 4เนื่องจาก (x − 3)² มีค่าต่ำสุดเป็น 0 ค่าต่ำสุดทั้งหมดจึงเท่ากับ 4
แนวข้อสอบปิดท้าย 10 ข้อ
สรุป 1 นาที
| พหุนามกำลังสอง | พหุนามที่มีดีกรีสูงสุดเท่ากับ 2 |
| รูปทั่วไป | ax² + bx + c เมื่อ a ≠ 0 |
| กำลังสองสมบูรณ์ | พหุนามที่เขียนเป็นวงเล็บเดียวคูณตัวเองได้ |
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| การตรวจ | พจน์หน้าและหลังเป็นกำลังสอง และพจน์กลางเป็น ±2ab |
| ที่มาของสูตร | การแบ่งพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส |
| การต่อยอด | แยกตัวประกอบ สมการกำลังสอง พาราโบลา และค่าสูงสุดต่ำสุด |
- ดูดีกรีสูงสุดเพื่อจำแนกพหุนามกำลังสอง
- ตรวจพจน์กลางทุกครั้งก่อนสรุปว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์
- พจน์กลางของ (a + b)² คือ 2ab
- พจน์กลางของ (a − b)² คือ −2ab
- ใช้การขยายวงเล็บกลับเพื่อตรวจคำตอบ
- จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เพื่อมองเห็นจุดยอดและค่าต่ำสุดหรือสูงสุด
พหุนามคือรูปที่ขยายออกมา ส่วนกำลังสองสมบูรณ์คือการมองย้อนกลับว่า พหุนามนั้นเกิดจากวงเล็บใดคูณตัวเอง