EP9 : สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
เรียนรู้การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวด้วยการแยกตัวประกอบ สมบัติรากที่สอง สูตรกำลังสอง และดิสคริมิแนนต์ พร้อมตัวอย่าง แบบฝึกหัด และ Quiz เพื่อเตรียมสอบอย่างเป็นขั้นตอน
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
เรียนรู้รูปทั่วไปของสมการกำลังสอง การจัดสมการให้เท่ากับศูนย์ การแก้สมการด้วยการแยกตัวประกอบ สมบัติรากที่สอง สูตรกำลังสอง และการตรวจจำนวนคำตอบด้วยดิสคริมิแนนต์
ทำให้ข้างหนึ่งเท่ากับศูนย์
ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์
ใช้ได้กับสมการทุกแบบ
ตรวจจำนวนคำตอบ
เป้าหมายการเรียนรู้
- จำแนกสมการกำลังสองตัวแปรเดียวได้
- จัดสมการให้อยู่ในรูป ax² + bx + c = 0 ได้
- แก้สมการด้วยการแยกตัวประกอบได้
- แก้สมการด้วยสมบัติรากที่สองได้
- ใช้สูตรกำลังสองหาคำตอบได้
- ใช้ดิสคริมิแนนต์ตรวจจำนวนคำตอบได้
- ตรวจคำตอบด้วยการแทนค่ากลับได้
1. สมการกำลังสองคืออะไร
สมการกำลังสองตัวแปรเดียว คือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และเลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรเท่ากับ 2
โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนจริง และ a ≠ 0
ตัวอย่างสมการกำลังสอง
- x2 − 5x + 6 = 0
- 2x2 + 7x + 3 = 0
- 4x2 − 9 = 0
- x2 = 16
ตัวอย่างที่ไม่ใช่สมการกำลังสอง
- 3x + 5 = 0 เป็นสมการเชิงเส้น
- x3 − 2x = 0 เป็นสมการกำลังสาม
- x2 + y = 5 มีมากกว่าหนึ่งตัวแปร
ต้องมีตัวแปรเพียงตัวเดียว และกำลังสูงสุดของตัวแปรต้องเท่ากับ 2
2. จัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน
ก่อนแก้สมการกำลังสอง ควรจัดสมการให้อยู่ในรูป
ตัวอย่างที่ 1
x2 + 3x = 10
ย้าย 10 มาทางซ้าย
x2 + 3x − 10 = 0
ดังนั้น a = 1, b = 3 และ c = −10
ตัวอย่างที่ 2
2x2 + 5 = 7x
2x2 − 7x + 5 = 0
ดังนั้น a = 2, b = −7 และ c = 5
เมื่อย้ายพจน์ข้ามเครื่องหมายเท่ากับ ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์นั้น
3. สมบัติผลคูณเป็นศูนย์
หากผลคูณของสองจำนวนเท่ากับศูนย์ อย่างน้อยหนึ่งจำนวนต้องเท่ากับศูนย์
ตัวอย่าง
ดังนั้น
x − 2 = 0 หรือ x + 5 = 0
x = 2 หรือ x = −5
ต้องจัดสมการให้ข้างหนึ่งเป็นศูนย์ แล้วแยกพหุนามอีกข้างให้อยู่ในรูปผลคูณ
4. แก้สมการด้วยการดึงตัวประกอบร่วม
ตัวอย่าง
ดึง x ออกเป็นตัวประกอบร่วม
x(x − 5) = 0
ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์
x = 0 หรือ x − 5 = 0
ดังนั้น x = 0 หรือ x = 5
ห้ามหารทั้งสมการด้วย x ตั้งแต่แรก เพราะจะทำให้คำตอบ x = 0 หายไป
5. แก้สมการตรีนามที่สัมประสิทธิ์หน้า x² เป็น 1
ตัวอย่างที่ 1
หาสองจำนวนที่บวกกันได้ 5 และคูณกันได้ 6 คือ 2 และ 3
(x + 2)(x + 3) = 0
x + 2 = 0 หรือ x + 3 = 0
ดังนั้น x = −2 หรือ x = −3
ตัวอย่างที่ 2
หาสองจำนวนที่บวกกันได้ −7 และคูณกันได้ 12 คือ −3 และ −4
(x − 3)(x − 4) = 0
ดังนั้น x = 3 หรือ x = 4
6. แก้สมการตรีนามรูป ax² + bx + c = 0
ตัวอย่าง
แยกตัวประกอบได้เป็น
(2x + 1)(x + 3) = 0
จึงได้
2x + 1 = 0 หรือ x + 3 = 0
2x = −1 หรือ x = −3
ดังนั้น x = −1/2 หรือ x = −3
นำคำตอบแต่ละค่ากลับไปแทนในสมการเดิม หากทำให้สมการเป็นจริง แสดงว่าเป็นคำตอบที่ถูกต้อง
7. สมการผลต่างกำลังสอง
ตัวอย่างที่ 1
x2 − 52 = 0
(x − 5)(x + 5) = 0
ดังนั้น x = 5 หรือ x = −5
ตัวอย่างที่ 2
4x2 − 9 = 0
(2x)2 − 32 = 0
(2x − 3)(2x + 3) = 0
ดังนั้น x = 3/2 หรือ x = −3/2
8. แก้สมการด้วยสมบัติรากที่สอง
ถ้า x² = k และ k เป็นจำนวนบวก จะได้คำตอบสองค่า
ตัวอย่างที่ 1
x2 = 49
x = ±√49
ดังนั้น x = 7 หรือ x = −7
ตัวอย่างที่ 2
(x − 2)2 = 16
x − 2 = ±4
กรณีที่ 1: x − 2 = 4 จึงได้ x = 6
กรณีที่ 2: x − 2 = −4 จึงได้ x = −2
ดังนั้น x = 6 หรือ x = −2
เมื่อถอดรากที่สองเพื่อหาค่า x ต้องพิจารณาทั้งค่าบวกและค่าลบ
9. สูตรกำลังสอง
สมการกำลังสองทุกสมการที่อยู่ในรูป ax² + bx + c = 0 สามารถแก้ได้ด้วยสูตร
ตัวอย่าง
จะได้ a = 2, b = 1 และ c = −3
x = [−1 ± √(1² − 4(2)(−3))] / 2(2)
x = [−1 ± √(1 + 24)] / 4
x = [−1 ± 5] / 4
กรณีที่ 1
x = (−1 + 5)/4 = 1
กรณีที่ 2
x = (−1 − 5)/4 = −3/2
ดังนั้น x = 1 หรือ x = −3/2
ต้องจัดสมการให้เท่ากับศูนย์ และระบุค่า a, b, c พร้อมเครื่องหมายให้ถูกต้อง
10. ดิสคริมิแนนต์และจำนวนคำตอบ
จำนวนภายในเครื่องหมายรากของสูตรกำลังสองเรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ เขียนแทนด้วย Δ
| ค่าของ Δ | ลักษณะคำตอบ |
|---|---|
| Δ > 0 | มีคำตอบจริงแตกต่างกัน 2 ค่า |
| Δ = 0 | มีคำตอบจริงซ้ำกัน 1 ค่า |
| Δ < 0 | ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง |
ตัวอย่างที่ 1
x2 − 5x + 6 = 0
Δ = (−5)2 − 4(1)(6)
Δ = 25 − 24 = 1
เนื่องจาก Δ > 0 จึงมีคำตอบจริงแตกต่างกัน 2 ค่า
ตัวอย่างที่ 2
x2 + 4x + 4 = 0
Δ = 42 − 4(1)(4)
Δ = 16 − 16 = 0
จึงมีคำตอบจริงซ้ำกัน 1 ค่า
11. การเลือกวิธีแก้สมการ
| ลักษณะสมการ | วิธีที่เหมาะสม |
|---|---|
| x² = จำนวน | ใช้สมบัติรากที่สอง |
| แยกตัวประกอบได้ง่าย | ใช้การแยกตัวประกอบ |
| เป็นผลต่างกำลังสอง | ใช้สูตร a² − b² |
| แยกตัวประกอบยาก | ใช้สูตรกำลังสอง |
| ถามจำนวนคำตอบ | คำนวณดิสคริมิแนนต์ |
ลองแยกตัวประกอบก่อน หากหาไม่ได้ง่าย จึงเปลี่ยนไปใช้สูตรกำลังสอง
12. โจทย์ปัญหาสมการกำลังสอง
ตัวอย่าง
รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวมากกว่าความกว้าง 3 เมตร และมีพื้นที่ 40 ตารางเมตร จงหาความกว้างและความยาว
ให้ x แทนความกว้าง
ความยาวจึงเท่ากับ x + 3
จากสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า
x(x + 3) = 40
x2 + 3x − 40 = 0
(x + 8)(x − 5) = 0
x = −8 หรือ x = 5
เนื่องจากความยาวต้องเป็นจำนวนบวก จึงใช้ x = 5
ดังนั้น ความกว้างเท่ากับ 5 เมตร และความยาวเท่ากับ 8 เมตร
แม้สมการจะได้สองคำตอบ แต่โจทย์ปัญหาอาจยอมรับเพียงคำตอบเดียว เช่น ความยาว อายุ และจำนวนสิ่งของต้องไม่เป็นจำนวนลบ
13. ขั้นตอนทำข้อสอบแบบเร็ว
แบบฝึกหัดทบทวน 5 ข้อ
-
จงแก้สมการ x² − 9 = 0
A. x = 3 เท่านั้น B. x = −3 เท่านั้น C. x = ±3 D. x = ±9
ดูเฉลย
ตอบ C. x = ±3
x² − 3² = 0
(x − 3)(x + 3) = 0
x = 3 หรือ x = −3 -
จงแก้สมการ x² + 7x + 12 = 0
A. x = 3, 4 B. x = −3, −4 C. x = −2, −6 D. x = 2, 6
ดูเฉลย
ตอบ B. x = −3, −4
(x + 3)(x + 4) = 0
x = −3 หรือ x = −4 -
จงแก้สมการ x² − 2x − 15 = 0
A. x = 3, −5 B. x = −3, 5 C. x = 1, −15 D. x = −1, 15
ดูเฉลย
ตอบ B. x = −3, 5
(x − 5)(x + 3) = 0
x = 5 หรือ x = −3 -
สมการ x² − 6x + 9 = 0 มีคำตอบแบบใด
A. มีคำตอบจริง 2 ค่าต่างกัน B. มีคำตอบจริงซ้ำกัน C. ไม่มีคำตอบจริง D. มีคำตอบทุกจำนวนจริง
ดูเฉลย
ตอบ B. มีคำตอบจริงซ้ำกัน
Δ = (−6)² − 4(1)(9)
= 36 − 36 = 0 -
จงแก้สมการ 2x² − 5x − 3 = 0
A. x = 3, −1/2 B. x = −3, 1/2 C. x = 1, −3/2 D. x = −1, 3/2
ดูเฉลย
ตอบ A. x = 3, −1/2
2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3)
x = −1/2 หรือ x = 3
แนวข้อสอบปิดท้าย 10 ข้อ
สรุป 1 นาที
| รูปทั่วไป | ax² + bx + c = 0 โดย a ≠ 0 |
| แยกตัวประกอบ | เขียนสมการให้อยู่ในรูปผลคูณเท่ากับศูนย์ |
| ผลคูณเป็นศูนย์ | ถ้า AB = 0 แล้ว A = 0 หรือ B = 0 |
| สมบัติรากที่สอง | ถ้า x² = k แล้ว x = ±√k |
| สูตรกำลังสอง | x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a |
| ดิสคริมิแนนต์ | Δ = b² − 4ac ใช้ตรวจจำนวนคำตอบ |
| ตรวจคำตอบ | แทนค่า x กลับลงในสมการเดิม |
- จัดสมการให้ข้างหนึ่งเท่ากับศูนย์ก่อน
- ตรวจและดึงตัวประกอบร่วมออกก่อนเสมอ
- ลองแยกตัวประกอบก่อนใช้สูตรกำลังสอง
- เมื่อถอดรากที่สองต้องพิจารณาเครื่องหมาย ±
- ระบุค่า a, b และ c พร้อมเครื่องหมายให้ถูกต้อง
- โจทย์ปัญหาต้องตรวจความสมเหตุสมผลของคำตอบ
EP10 อสมการและค่าสัมบูรณ์