EP11 ทบทวนพื้นฐานคณิตศาสตร์และ Mini Mock Test
สรุปและทบทวนพื้นฐานคณิตศาสตร์ครบทุกหัวข้อ ตั้งแต่จำนวนจริง เศษส่วน เลขยกกำลัง พหุนาม สมการ อสมการ และค่าสัมบูรณ์ พร้อม Mini Mock Test
เส้นทางสู่เป้าหมาย
กำลังโหลดความก้าวหน้า…
ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ
อสมการและค่าสัมบูรณ์
เรียนรู้ความหมายของอสมการ การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว การเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ การเขียนคำตอบบนเส้นจำนวน และการแก้สมการกับอสมการค่าสัมบูรณ์
เปรียบเทียบค่าที่ไม่เท่ากัน
แสดงช่วงของคำตอบ
คูณหรือหารต้องกลับเครื่องหมาย
ระยะห่างจากศูนย์
เป้าหมายการเรียนรู้
- เข้าใจความหมายของเครื่องหมายอสมการ
- แก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวได้
- รู้ว่าเมื่อใดต้องกลับเครื่องหมายอสมการ
- เขียนคำตอบบนเส้นจำนวนและในรูปช่วงได้
- เข้าใจค่าสัมบูรณ์ในความหมายของระยะห่าง
- แก้สมการค่าสัมบูรณ์ได้
- แก้อสมการค่าสัมบูรณ์พื้นฐานได้
1. อสมการคืออะไร
อสมการ คือประโยคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ ว่าจำนวนหรือนิพจน์สองข้างมีค่ามากกว่า น้อยกว่า หรือไม่เท่ากัน
| เครื่องหมาย | ความหมาย | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| > | มากกว่า | x > 3 |
| < | น้อยกว่า | x < 5 |
| ≥ | มากกว่าหรือเท่ากับ | x ≥ 2 |
| ≤ | น้อยกว่าหรือเท่ากับ | x ≤ 7 |
| ≠ | ไม่เท่ากับ | x ≠ 0 |
ปากกว้างของเครื่องหมายหันไปทางจำนวนที่มีค่ามากกว่า ส่วนปลายแหลมหันไปทางจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า
2. คำตอบของอสมการ
คำตอบของอสมการมักมีได้หลายค่า ต่างจากสมการที่มักต้องการหาค่าตัวแปรเฉพาะค่า
หมายถึง x เป็นจำนวนใดก็ได้ที่มากกว่า 4 เช่น 5, 6, 10, 100 หรือ 4.5
แต่ x = 4 ไม่เป็นคำตอบ เพราะเครื่องหมาย > ไม่รวมค่าที่เท่ากับ 4
หมายถึง x มากกว่าหรือเท่ากับ 4 ดังนั้น x = 4 เป็นคำตอบด้วย
3. การบวกและลบในอสมการ
สามารถบวกหรือลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้างได้ โดยไม่ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ
ตัวอย่างที่ 1
ลบ 5 ทั้งสองข้าง
x > 7
ตัวอย่างที่ 2
บวก 8 ทั้งสองข้าง
x ≤ 11
การบวกหรือลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้าง ไม่ทำให้ทิศทางของอสมการเปลี่ยน
4. การคูณและหารด้วยจำนวนบวก
เมื่อคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายอสมการยังคงเดิม
ตัวอย่างที่ 1
หารทั้งสองข้างด้วย 3
x < 6
ตัวอย่างที่ 2
คูณทั้งสองข้างด้วย 4
x ≥ 20
5. คูณหรือหารด้วยจำนวนลบต้องกลับเครื่องหมาย
เมื่อคูณหรือหารอสมการทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ ต้องกลับทิศทางของเครื่องหมายอสมการ
< เปลี่ยนเป็น >
≥ เปลี่ยนเป็น ≤
≤ เปลี่ยนเป็น ≥
ตัวอย่างที่ 1
หารทั้งสองข้างด้วย −2 และกลับเครื่องหมาย
x < −5
ตัวอย่างที่ 2
หารทั้งสองข้างด้วย −3 และกลับเครื่องหมาย
x ≥ −4
การย้ายพจน์ข้ามข้างไม่ได้ทำให้กลับเครื่องหมายอสมการ เครื่องหมายจะกลับเฉพาะเมื่อคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ
6. การแก้อสมการหลายขั้นตอน
ตัวอย่างที่ 1
3x > 15
x > 5
ตัวอย่างที่ 2
ลบ 5 ทั้งสองข้าง
−2x ≥ 6
หารด้วย −2 และกลับเครื่องหมาย
x ≤ −3
ตัวอย่างที่ 3
4x − 2x < 7 + 3
2x < 10
x < 5
7. อสมการที่มีวงเล็บและเศษส่วน
หากมีวงเล็บ ให้แจกแจงก่อน หากมีเศษส่วน ให้คูณด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วน
ตัวอย่างที่ 1
2x + 6 > 14
2x > 8
x > 4
ตัวอย่างที่ 2
x/3 ≤ 6
x ≤ 18
หากคูณเพื่อกำจัดตัวส่วน ต้องตรวจว่าจำนวนที่นำมาคูณ เป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบ
8. การแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน
การเขียนคำตอบบนเส้นจำนวนต้องพิจารณา ว่ารวมค่าที่จุดปลายหรือไม่
| อสมการ | จุดบนเส้นจำนวน | ทิศทาง |
|---|---|---|
| x > 3 | วงกลมโปร่งที่ 3 | ลูกศรไปทางขวา |
| x ≥ 3 | วงกลมทึบที่ 3 | ลูกศรไปทางขวา |
| x < 3 | วงกลมโปร่งที่ 3 | ลูกศรไปทางซ้าย |
| x ≤ 3 | วงกลมทึบที่ 3 | ลูกศรไปทางซ้าย |
มีเครื่องหมายเท่ากับร่วมด้วย ใช้จุดทึบ ไม่มีเครื่องหมายเท่ากับ ใช้จุดโปร่ง
9. อสมการสองชั้น
อสมการสองชั้นเป็นการกำหนดให้ตัวแปรอยู่ระหว่างสองค่า
หมายถึง x มากกว่า 2 และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 7
ตัวอย่าง
ลบ 1 ทุกส่วนของอสมการ
2 < 2x ≤ 10
หารทุกส่วนด้วย 2
1 < x ≤ 5
ต้องทำการดำเนินการเดียวกันกับทั้งสามส่วนของอสมการ
10. ความหมายของค่าสัมบูรณ์
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวน คือระยะห่างของจำนวนนั้นจากศูนย์ บนเส้นจำนวน ระยะห่างจึงไม่เป็นจำนวนลบ
ทั้ง 5 และ −5 อยู่ห่างจากศูนย์เป็นระยะ 5 หน่วยเท่ากัน
| ถ้า x ≥ 0 | |x| = x |
| ถ้า x < 0 | |x| = −x |
ค่าสัมบูรณ์ไม่ติดลบ เช่น |−8| = 8 ไม่ใช่ −8
11. สมการค่าสัมบูรณ์
หาก |x| = a โดย a เป็นจำนวนบวก จะมีคำตอบสองค่า
ตัวอย่างที่ 1
ดังนั้น x = 7 หรือ x = −7
ตัวอย่างที่ 2
กรณีที่ 1
x − 3 = 5 จึงได้ x = 8
กรณีที่ 2
x − 3 = −5 จึงได้ x = −2
ดังนั้น x = 8 หรือ x = −2
สมการ |x| = −3 ไม่มีคำตอบ เพราะค่าสัมบูรณ์ไม่สามารถมีค่าเป็นจำนวนลบ
12. อสมการค่าสัมบูรณ์แบบน้อยกว่า
อสมการ |x| < a หมายถึง x อยู่ห่างจากศูนย์ น้อยกว่า a หน่วย จึงอยู่ระหว่าง −a และ a
ตัวอย่างที่ 1
−4 < x < 4
ตัวอย่างที่ 2
−3 ≤ x − 2 ≤ 3
บวก 2 ทุกส่วน
−1 ≤ x ≤ 5
คำตอบอยู่ด้านในหรืออยู่ระหว่างสองค่า
13. อสมการค่าสัมบูรณ์แบบมากกว่า
อสมการ |x| > a หมายถึง x อยู่ห่างจากศูนย์ มากกว่า a หน่วย คำตอบจึงอยู่ด้านนอกช่วง
ตัวอย่างที่ 1
x < −6 หรือ x > 6
ตัวอย่างที่ 2
x + 1 ≤ −4 หรือ x + 1 ≥ 4
x ≤ −5 หรือ x ≥ 3
คำตอบแยกออกเป็นสองด้าน และเชื่อมด้วยคำว่า “หรือ”
14. ขั้นตอนทำข้อสอบแบบเร็ว
แบบฝึกหัดทบทวน 5 ข้อ
-
จงแก้อสมการ x + 6 > 15
A. x > 9 B. x < 9 C. x ≥ 21 D. x > 21
ดูเฉลย
ตอบ A. x > 9
ลบ 6 ทั้งสองข้าง
x > 15 − 6
x > 9 -
จงแก้อสมการ −3x ≤ 12
A. x ≤ −4 B. x ≥ −4 C. x ≤ 4 D. x ≥ 4
ดูเฉลย
ตอบ B. x ≥ −4
หารทั้งสองข้างด้วย −3 และกลับเครื่องหมาย
x ≥ −4 -
จงแก้อสมการ 2x − 5 < 9
A. x < 2 B. x < 7 C. x > 7 D. x ≤ 7
ดูเฉลย
ตอบ B. x < 7
2x < 14
x < 7 -
จงแก้สมการ |x − 2| = 6
A. x = 8 หรือ x = −4 B. x = 6 หรือ x = −6 C. x = 4 หรือ x = −8 D. x = 8 เท่านั้น
ดูเฉลย
ตอบ A. x = 8 หรือ x = −4
x − 2 = 6 หรือ x − 2 = −6
x = 8 หรือ x = −4 -
จงแก้อสมการ |x| ≤ 5
A. x ≤ −5 หรือ x ≥ 5 B. −5 ≤ x ≤ 5 C. −5 < x < 5 D. x < −5 หรือ x > 5
ดูเฉลย
ตอบ B. −5 ≤ x ≤ 5
|x| ≤ 5 หมายถึง x อยู่ห่างจากศูนย์ไม่เกิน 5 หน่วย
แนวข้อสอบปิดท้าย 10 ข้อ
สรุป 1 นาที
| บวกหรือลบ | ทำเหมือนกันทั้งสองข้าง เครื่องหมายคงเดิม |
| คูณหรือหารด้วยจำนวนบวก | เครื่องหมายคงเดิม |
| คูณหรือหารด้วยจำนวนลบ | ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ |
| จุดโปร่ง | ใช้กับ > หรือ < |
| จุดทึบ | ใช้กับ ≥ หรือ ≤ |
| |x| = a | x = a หรือ x = −a |
| |x| < a | −a < x < a คำตอบอยู่ด้านใน |
| |x| > a | x < −a หรือ x > a คำตอบอยู่ด้านนอก |
- จัดรูปอสมการเหมือนการแก้สมการทั่วไป
- กลับเครื่องหมายเฉพาะเมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ
- ตรวจว่าจุดปลายรวมอยู่ในคำตอบหรือไม่
- ค่าสัมบูรณ์หมายถึงระยะห่าง จึงไม่เป็นจำนวนลบ
- สมการค่าสัมบูรณ์มักต้องแยกพิจารณาสองกรณี
- ค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าใช้ “และ” มากกว่าใช้ “หรือ”
EP11 ทบทวนพื้นฐานคณิตศาสตร์และ Mini Mock Test