ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP2 เลขยกกำลังและการจัดรูปกรณฑ์

เรียนรู้สมบัติเลขยกกำลัง เลขชี้กำลังศูนย์และเลขชี้กำลังลบ การถอดราก การจัดรูปกรณฑ์ การบวก ลบ คูณ และหารกรณฑ์

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP2 • Simplifying Radicals

จัดรูปกรณฑ์เพื่อแก้โจทย์

เริ่มจากโจทย์ข้อสอบที่รวมทั้งกรณฑ์ สมการกำลังสอง และการจัดรูปนิพจน์ไว้ในข้อเดียว จากนั้นถอดความรู้ สูตร และเทคนิคที่จำเป็น เพื่อกลับมาทำโจทย์เดิมได้ด้วยตนเอง

เป้าหมายของบท
  • จัดรูปกรณฑ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้
  • ใช้จำนวนคู่สังยุคช่วยจัดรูปเศษส่วนได้
  • สังเกตรูปแบบของสมการโดยไม่จำเป็นต้องใช้สูตรกำลังสองทุกครั้ง
  • หาค่านิพจน์ที่โจทย์ถามได้อย่างรวดเร็ว
🪖

1. โจทย์นำจากข้อสอบ

ถ้า \(a\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ

\[ 2a^2-3a-20-\sqrt{336}+\sqrt{63}+\sqrt{27}=0 \]

แล้วค่าของ

\[ \left(a+\frac4a\right)^2 \]

ตรงกับข้อใด

  1. 12
  2. 20
  3. 24
  4. 28
  5. 44
ยังไม่ต้องรีบใช้สูตรสมการกำลังสอง

ข้อนี้ดูเหมือนต้องแก้สมการที่ซับซ้อน แต่หัวใจจริงอยู่ที่การจัดรูปกรณฑ์ การสังเกตรูปแบบ และจำนวนคู่สังยุค

ดูแนวคิดเบื้องต้น

เริ่มจากจัดรูปกรณฑ์ก่อน

\[ \sqrt{336}=4\sqrt{21} \]
\[ \sqrt{63}=3\sqrt7 \qquad\text{และ}\qquad \sqrt{27}=3\sqrt3 \]

เมื่อเห็นทั้ง \(\sqrt7,\sqrt3\) และ \(\sqrt{21}\) ควรนึกถึง

\[ \left(\sqrt7+\sqrt3\right)^2 = 10+2\sqrt{21} \]

เราจะเรียนรู้วิธีใช้รูปแบบนี้ แล้วกลับมาเฉลยโจทย์อย่างละเอียดในช่วงท้ายบท

🔍

2. ถอดรหัสโจทย์

โจทย์ข้อนี้กำลังวัดทักษะต่อไปนี้

  • การแยกตัวประกอบภายในเครื่องหมายกรณฑ์
  • การถอดรากกำลังสองสมบูรณ์
  • การยกกำลังผลบวกของกรณฑ์
  • การเปรียบเทียบสมการที่มีรูปแบบเหมือนกัน
  • การใช้จำนวนคู่สังยุคจัดรูป \(\frac4a\)
  • การใช้เงื่อนไขว่า \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก
เส้นทางแก้โจทย์
\[ \boxed{ \text{จัดรูปกรณฑ์} \rightarrow \text{สร้างจำนวนที่สอดคล้อง} \rightarrow \text{หา }a \rightarrow \text{ใช้คู่สังยุค} } \]
√

3. นิยามและสมบัติของกรณฑ์

สำหรับ \(x\geq0\) ค่า \(\sqrt{x}\) หมายถึงจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ซึ่งยกกำลังสองแล้วได้ \(x\)

\[ \sqrt{x}=y \quad\Longleftrightarrow\quad y^2=x,\ y\geq0 \]

สมบัติที่ใช้บ่อย

\[ \sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y} \qquad (x,y\geq0) \]
\[ \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \qquad (x\geq0,\ y>0) \]
\[ \sqrt{x^2}=|x| \]
ข้อควรระวัง
\[ \sqrt{x+y}\neq\sqrt{x}+\sqrt{y} \]

ตัวอย่างเช่น

\[ \sqrt{9+16}=5 \qquad\text{แต่}\qquad \sqrt9+\sqrt{16}=7 \]
🧩

4. การจัดรูปกรณฑ์

แยกจำนวนภายในรากให้มีตัวประกอบ ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 1

\[ \sqrt{336} = \sqrt{16\times21} = 4\sqrt{21} \]

ตัวอย่างที่ 2

\[ \sqrt{63} = \sqrt{9\times7} = 3\sqrt7 \]

ตัวอย่างที่ 3

\[ \sqrt{27} = \sqrt{9\times3} = 3\sqrt3 \]
จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่ควรจำ
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100 \]

ให้เริ่มมองหากำลังสองสมบูรณ์ที่มีค่ามากที่สุด และหารจำนวนภายในรากลงตัว

➕

5. การยกกำลังผลบวกของกรณฑ์

\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \]

เมื่อนำมาใช้กับกรณฑ์

\[ \left(\sqrt m+\sqrt n\right)^2 = m+n+2\sqrt{mn} \]

ตัวอย่าง

\[ \left(\sqrt7+\sqrt3\right)^2 = 7+3+2\sqrt{21} \]
\[ = 10+2\sqrt{21} \]
สังเกตจากโจทย์

เมื่อเห็น \(\sqrt7,\sqrt3\) และ \(\sqrt{21}\) อยู่ในสมการเดียวกัน ควรตรวจสอบรูป \(\sqrt7+\sqrt3\) หรือ \(\sqrt7-\sqrt3\)

🔄

6. จำนวนคู่สังยุค

จำนวนในรูป \(\sqrt m+\sqrt n\) และ \(\sqrt m-\sqrt n\) เรียกว่าเป็นจำนวนคู่สังยุคกัน

\[ (\sqrt m+\sqrt n)(\sqrt m-\sqrt n) = m-n \]

ตัวอย่างสำคัญ

\[ (\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3) = 7-3 = 4 \]

ดังนั้น

\[ \frac4{\sqrt7+\sqrt3} = \sqrt7-\sqrt3 \]
เทคนิคเร็ว

ถ้าผลต่างของจำนวนในรากเท่ากับตัวเศษพอดี สามารถใช้คู่สังยุคได้ทันที

\[ \frac{m-n}{\sqrt m+\sqrt n} = \sqrt m-\sqrt n \]
⚡

7. เทคนิคเปรียบเทียบสมการ

บางโจทย์ไม่จำเป็นต้องใช้สูตรแก้สมการกำลังสอง หากสามารถสร้างจำนวนที่ให้สมการรูปเดียวกันได้

สมมติว่า

\[ 2a^2-3a=2s^2-3s \]

ย้ายข้างและแยกตัวประกอบ

\[ 2a^2-2s^2-3a+3s=0 \]
\[ 2(a-s)(a+s)-3(a-s)=0 \]
\[ (a-s)\bigl(2a+2s-3\bigr)=0 \]

จึงได้

\[ a=s \quad\text{หรือ}\quad a=\frac32-s \]
อย่าลืมใช้เงื่อนไขของโจทย์

หากโจทย์กำหนดว่า \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก คำตอบที่เป็นลบต้องตัดทิ้ง

🧠

8. ตัวอย่างทำให้ดู

ตัวอย่างที่ 1: จัดรูปกรณฑ์

จงจัดรูป \(\sqrt{108}\)

\[ \sqrt{108} = \sqrt{36\times3} = 6\sqrt3 \]

ตัวอย่างที่ 2: ใช้คู่สังยุค

จงหาค่า

\[ \frac4{\sqrt5+1} \]

เนื่องจาก

\[ (\sqrt5+1)(\sqrt5-1)=5-1=4 \]

ดังนั้น

\[ \frac4{\sqrt5+1} = \sqrt5-1 \]

ตัวอย่างที่ 3: หาค่านิพจน์โดยไม่กระจายมากเกินไป

ถ้า \(x=\sqrt5+1\) จงหาค่า \(\left(x+\frac4x\right)^2\)

\[ \frac4x = \frac4{\sqrt5+1} = \sqrt5-1 \]
\[ x+\frac4x = (\sqrt5+1)+(\sqrt5-1) = 2\sqrt5 \]
\[ \left(x+\frac4x\right)^2 = (2\sqrt5)^2 = 20 \]
✏️

9. แบบฝึกหัดเสริม 5 ข้อ

ลองทำด้วยตนเองก่อนเปิดดูเฉลย

  1. จงจัดรูป \(\sqrt{192}\) ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

    1. \(4\sqrt3\)
    2. \(6\sqrt3\)
    3. \(8\sqrt3\)
    4. \(12\sqrt3\)
    ดูเฉลย
    \[ \sqrt{192} = \sqrt{64\times3} = 8\sqrt3 \]

    ตอบ C

  2. ค่าของ \(\left(\sqrt5+\sqrt2\right)^2\) ตรงกับข้อใด

    1. \(7+\sqrt{10}\)
    2. \(7+2\sqrt{10}\)
    3. \(10+2\sqrt7\)
    4. \(7+4\sqrt{10}\)
    ดูเฉลย
    \[ \left(\sqrt5+\sqrt2\right)^2 = 5+2+2\sqrt{10} \]
    \[ = 7+2\sqrt{10} \]

    ตอบ B

  3. ค่าของ \(\frac4{\sqrt{13}+3}\) ตรงกับข้อใด

    1. \(\sqrt{13}-3\)
    2. \(\sqrt{13}+3\)
    3. \(\frac{\sqrt{13}-3}{4}\)
    4. \(4\sqrt{13}-12\)
    ดูเฉลย
    \[ (\sqrt{13}+3)(\sqrt{13}-3) = 13-9 = 4 \]

    ดังนั้น

    \[ \frac4{\sqrt{13}+3} = \sqrt{13}-3 \]

    ตอบ A

  4. ถ้า \(x=\sqrt{11}+\sqrt7\) แล้วค่าของ \(\left(x+\frac4x\right)^2\) ตรงกับข้อใด

    1. 28
    2. 36
    3. 40
    4. 44
    ดูเฉลย
    \[ \frac4{\sqrt{11}+\sqrt7} = \sqrt{11}-\sqrt7 \]
    \[ x+\frac4x = 2\sqrt{11} \]
    \[ \left(x+\frac4x\right)^2 = 44 \]

    ตอบ D

  5. กำหนดให้ \(a>0\), \(s>0\) และ \(2a^2-3a=2s^2-3s\) โดย \(s>\frac32\) ข้อใดเป็นค่าของ \(a\) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

    1. \(-s\)
    2. \(\frac32-s\)
    3. \(s\)
    4. \(s-\frac32\)
    ดูเฉลย
    \[ (a-s)(2a+2s-3)=0 \]

    จึงได้

    \[ a=s \quad\text{หรือ}\quad a=\frac32-s \]

    แต่ \(s>\frac32\) ทำให้ \(\frac32-s0\)

    ตอบ C. \(a=s\)

✅

10. กลับมาแก้โจทย์นำ

จากสมการ

\[ 2a^2-3a-20-\sqrt{336}+\sqrt{63}+\sqrt{27}=0 \]

ขั้นที่ 1 จัดรูปกรณฑ์

\[ \sqrt{336}=4\sqrt{21}, \quad \sqrt{63}=3\sqrt7, \quad \sqrt{27}=3\sqrt3 \]

สมการจึงเป็น

\[ 2a^2-3a-20-4\sqrt{21}+3\sqrt7+3\sqrt3=0 \]

ย้ายข้าง

\[ 2a^2-3a-20 = 4\sqrt{21}-3\sqrt7-3\sqrt3 \]

ขั้นที่ 2 สร้างจำนวนที่สอดคล้อง

กำหนดให้

\[ s=\sqrt7+\sqrt3 \]

จะได้

\[ s^2 = 10+2\sqrt{21} \]

ดังนั้น

\[ 2s^2-3s-20 = 4\sqrt{21}-3\sqrt7-3\sqrt3 \]

จึงเปรียบเทียบได้ว่า

\[ 2a^2-3a-20 = 2s^2-3s-20 \]
\[ 2a^2-3a=2s^2-3s \]

ขั้นที่ 3 แยกตัวประกอบ

\[ (a-s)(2a+2s-3)=0 \]

จึงได้

\[ a=s \quad\text{หรือ}\quad a=\frac32-s \]

เนื่องจาก \(s=\sqrt7+\sqrt3>\frac32\) ค่าของ \(\frac32-s\) เป็นลบ แต่โจทย์กำหนดว่า \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก

\[ \therefore\quad a=\sqrt7+\sqrt3 \]

ขั้นที่ 4 ใช้จำนวนคู่สังยุค

\[ \frac4a = \frac4{\sqrt7+\sqrt3} = \sqrt7-\sqrt3 \]

เพราะ

\[ (\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3)=4 \]

ดังนั้น

\[ a+\frac4a = (\sqrt7+\sqrt3)+(\sqrt7-\sqrt3) = 2\sqrt7 \]
\[ \left(a+\frac4a\right)^2 = (2\sqrt7)^2 = 28 \]

ตอบ 4) 28

ทางลัดที่ควรจำ
\[ a=\sqrt m+\sqrt n, \quad m-n=k \]

จะได้

\[ \frac{k}{a} = \sqrt m-\sqrt n \]

และ

\[ \left(a+\frac{k}{a}\right)^2 = 4m \]
🎓

11. Quiz แนวข้อสอบ 5 ข้อ

ข้อ 1 คือโจทย์นำเดิม ส่วนข้อ 2–5 เป็นโจทย์ระดับเดียวกันหรือยากกว่า

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 • โจทย์นำเดิม

ถ้า \(a\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ

\[ 2a^2-3a-20-\sqrt{336}+\sqrt{63}+\sqrt{27}=0 \]

แล้วค่าของ \(\left(a+\frac4a\right)^2\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย

จากสมการได้ \(a=\sqrt7+\sqrt3\) และ \(\frac4a=\sqrt7-\sqrt3\)

\[ \left(a+\frac4a\right)^2 = (2\sqrt7)^2 = 28 \]

ตอบ D

ข้อ 2 ถ้า \(b\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ

\[ 2b^2-b-11-3\sqrt5=0 \]

แล้วค่าของ \(\left(b+\frac4b\right)^2\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย

จำนวนที่สอดคล้องคือ \(b=\sqrt5+1\)

\[ \frac4b=\sqrt5-1 \]
\[ \left(b+\frac4b\right)^2 = (2\sqrt5)^2 = 20 \]

ตอบ B

ข้อ 3 ถ้า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ

\[ x^2-2x-18-2\sqrt{77} +2\sqrt{11}+2\sqrt7=0 \]

แล้วค่าของ \(\left(x+\frac4x\right)^2\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย

จำนวนที่สอดคล้องคือ \(x=\sqrt{11}+\sqrt7\)

\[ \frac4x=\sqrt{11}-\sqrt7 \]
\[ \left(x+\frac4x\right)^2 = (2\sqrt{11})^2 = 44 \]

ตอบ E

ข้อ 4 ถ้า \(y\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ

\[ 3y^2-4y-48-12\sqrt{15} +4\sqrt{10}+4\sqrt6=0 \]

แล้วค่าของ \(\left(y+\frac4y\right)^2\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย

จำนวนที่สอดคล้องคือ \(y=\sqrt{10}+\sqrt6\)

\[ \frac4y=\sqrt{10}-\sqrt6 \]
\[ \left(y+\frac4y\right)^2 = (2\sqrt{10})^2 = 40 \]

ตอบ C

ข้อ 5 กำหนดให้ \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก ที่สอดคล้องกับสมการเดียวกับข้อ 1 ค่าของ \(\left(a-\frac4a\right)^2\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย
\[ a=\sqrt7+\sqrt3, \qquad \frac4a=\sqrt7-\sqrt3 \]
\[ a-\frac4a = 2\sqrt3 \]
\[ \left(a-\frac4a\right)^2 = (2\sqrt3)^2 = 12 \]

ตอบ A

📌

12. สรุป 1 นาที

\[ \sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y} \]
\[ \left(\sqrt m+\sqrt n\right)^2 = m+n+2\sqrt{mn} \]
\[ (\sqrt m+\sqrt n)(\sqrt m-\sqrt n) = m-n \]
\[ \frac{m-n}{\sqrt m+\sqrt n} = \sqrt m-\sqrt n \]
  • ฉันแยกกำลังสองสมบูรณ์ออกจากกรณฑ์ได้
  • ฉันยกกำลังผลบวกของกรณฑ์ได้
  • ฉันใช้จำนวนคู่สังยุคได้
  • ฉันเปรียบเทียบสมการที่มีรูปแบบเดียวกันได้
  • ฉันใช้เงื่อนไขจำนวนจริงบวกตัดคำตอบที่ไม่ต้องการได้
  • ฉันกลับมาทำโจทย์นำได้โดยไม่ต้องจำคำตอบ
หัวใจของบท

โจทย์กรณฑ์ระดับแข่งขันไม่ได้วัดเพียงการถอดราก แต่ต้องมองความสัมพันธ์ระหว่างกรณฑ์ สมการ และนิพจน์ที่โจทย์ถาม

\[ \boxed{ \text{จัดรูป} \rightarrow \text{สังเกตรูปแบบ} \rightarrow \text{ใช้คู่สังยุค} \rightarrow \text{ตอบสิ่งที่โจทย์ถาม} } \]
กลับด้านบน