ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP3 ใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติหาความยาวด้าน

sin, ด้านตรงข้ามมุมฉาก, สามเหลี่ยมอัตราส่วน 7:24:25, พีทาโกรัส และเทคนิคเปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วน

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP3 • Right Triangle Trigonometry

ใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติหาความยาวด้าน

เริ่มจากโจทย์สามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดค่า \(\sin A\) และผลต่างของด้านมาให้ จากนั้นเรียนรู้การระบุด้าน อัตราส่วนตรีโกณมิติ พีทาโกรัส และสามเหลี่ยมชุดพิเศษ เพื่อกลับมาแก้โจทย์เดิมได้อย่างรวดเร็ว

เป้าหมายของบท
  • ระบุด้านตรงข้ามมุม ด้านประชิดมุม และด้านตรงข้ามมุมฉากได้
  • ใช้ \(\sin\), \(\cos\) และ \(\tan\) หาความยาวด้านได้
  • เปลี่ยนทศนิยมเป็นอัตราส่วนอย่างง่ายได้
  • สังเกตสามเหลี่ยมชุดพิเศษ เช่น \(3:4:5\), \(5:12:13\) และ \(7:24:25\)
  • ใช้ข้อมูลผลต่างของด้านหาระยะจริงได้
🪖

1. โจทย์นำจากข้อสอบ

รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีมุม \(C\) เป็นมุมฉาก ความยาวด้านตรงข้ามมุม \(C\) เท่ากับ \(x\) ความยาวด้านตรงข้ามมุม \(A\) เท่ากับ \(z\) และความยาวด้านตรงข้ามมุม \(B\) เท่ากับ \(y\)

ถ้า

\[ \sin A=0.28 \qquad\text{และ}\qquad x-z=90 \]

แล้วค่าของ

\[ \frac{y-z}{17} \]

ตรงกับข้อใด

  1. 2
  2. 3
  3. 5
  4. 7
  5. 11
ยังไม่ต้องรีบใช้พีทาโกรัส

หัวใจของโจทย์อยู่ที่การเปลี่ยน \(0.28\) ให้เป็นเศษส่วน แล้วสังเกตอัตราส่วนของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ดูแนวคิดเบื้องต้น

เพราะ \(C\) เป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม \(C\) คือด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือด้านยาวที่สุด

\[ \sin A = \frac{\text{ด้านตรงข้ามมุม }A} {\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}} = \frac{z}{x} \]
\[ 0.28=\frac{28}{100}=\frac7{25} \]

จึงได้อัตราส่วนเบื้องต้น

\[ z:x=7:25 \]

ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยม \(7:24:25\)

🔍

2. ถอดรหัสโจทย์

โจทย์ข้อนี้กำลังวัดทักษะต่อไปนี้

  • การอ่านชื่อด้านจากมุมที่กำหนด
  • การใช้ความหมายของ \(\sin A\)
  • การเปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วน
  • การสังเกตอัตราส่วนสามเหลี่ยมมุมฉาก
  • การใช้ผลต่างของด้านหาตัวคูณร่วม
  • การแทนค่าลงในนิพจน์ที่โจทย์ถาม
เส้นทางแก้โจทย์
\[ \boxed{ \text{ระบุด้าน} \rightarrow \text{เขียนอัตราส่วนตรีโกณมิติ} \rightarrow \text{หาอัตราส่วนด้าน} \rightarrow \text{หาตัวคูณ} \rightarrow \text{ตอบสิ่งที่โจทย์ถาม} } \]
📐

3. รู้จักด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อด้านต้องพิจารณาเทียบกับมุมที่เราสนใจ

ด้านตรงข้ามมุมฉาก

เป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม \(90^\circ\) และเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอ

\[ \text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก} = \text{ด้านยาว} = \text{Hypotenuse} \]

ด้านตรงข้ามมุม

เป็นด้านที่อยู่ฝั่งตรงข้ามกับมุมที่เรากำลังพิจารณา

ด้านประชิดมุม

เป็นด้านที่ติดกับมุมนั้น แต่ต้องไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

สำหรับโจทย์นำ เมื่อพิจารณาที่มุม \(A\)
  • \(x\) คือด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • \(z\) คือด้านตรงข้ามมุม \(A\)
  • \(y\) คือด้านประชิดมุม \(A\)
ข้อควรระวัง

ด้านตรงข้ามและด้านประชิดอาจเปลี่ยนชื่อ เมื่อเปลี่ยนมุมที่พิจารณา แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็นด้านเดิมเสมอ

📘

4. อัตราส่วนตรีโกณมิติพื้นฐาน

สำหรับมุมแหลม \(\theta\) ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

\[ \sin\theta = \frac{\text{ด้านตรงข้ามมุม }\theta} {\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}} \]
\[ \cos\theta = \frac{\text{ด้านประชิดมุม }\theta} {\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}} \]
\[ \tan\theta = \frac{\text{ด้านตรงข้ามมุม }\theta} {\text{ด้านประชิดมุม }\theta} \]
สูตรจำสั้น ๆ
\[ \boxed{ \sin=\frac{\text{ข้าม}}{\text{ฉาก}}, \qquad \cos=\frac{\text{ชิด}}{\text{ฉาก}}, \qquad \tan=\frac{\text{ข้าม}}{\text{ชิด}} } \]

นำมาใช้กับโจทย์นำ

เมื่อพิจารณาที่มุม \(A\)

\[ \sin A=\frac{z}{x}, \qquad \cos A=\frac{y}{x}, \qquad \tan A=\frac{z}{y} \]
🔢

5. เปลี่ยนทศนิยมเป็นอัตราส่วน

เมื่อโจทย์ให้ค่าตรีโกณมิติเป็นทศนิยม ควรเปลี่ยนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำก่อน

ตัวอย่างที่ 1

\[ 0.6=\frac6{10}=\frac35 \]

ตัวอย่างที่ 2

\[ 0.8=\frac8{10}=\frac45 \]

ตัวอย่างที่ 3

\[ 0.28=\frac{28}{100}=\frac7{25} \]

ดังนั้น เมื่อ

\[ \sin A=0.28 \]

เราจะได้

\[ \frac{z}{x}=\frac7{25} \]
ความหมายของอัตราส่วน

\(\frac{z}{x}=\frac7{25}\) ไม่ได้แปลว่า \(z=7\) และ \(x=25\) เสมอไป แต่หมายความว่า

\[ z=7k, \qquad x=25k \]

เมื่อ \(k\) เป็นตัวคูณร่วมที่เป็นจำนวนบวก

△

6. ทฤษฎีพีทาโกรัส

ถ้าด้านประกอบมุมฉากยาว \(a\) และ \(b\) และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว \(c\)

\[ a^2+b^2=c^2 \]

สำหรับโจทย์นำ ด้านประกอบมุมฉากคือ \(y\) และ \(z\) ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากคือ \(x\)

\[ y^2+z^2=x^2 \]

หาอัตราส่วนของ \(y\)

เมื่อ \(z:x=7:25\) สมมติให้

\[ z=7k, \qquad x=25k \]

ใช้พีทาโกรัส

\[ y^2+(7k)^2=(25k)^2 \]
\[ y^2=625k^2-49k^2=576k^2 \]
\[ y=24k \]

จึงได้อัตราส่วน

\[ \boxed{z:y:x=7:24:25} \]
⚡

7. สามเหลี่ยมชุดพิเศษที่ควรจำ

สามเหลี่ยมมุมฉากบางชุดปรากฏในข้อสอบบ่อย การจำอัตราส่วนช่วยลดเวลาคำนวณ

\[ 3:4:5 \]
\[ 5:12:13 \]
\[ 7:24:25 \]
\[ 8:15:17 \]
\[ 9:40:41 \]
ตัวคูณของสามเหลี่ยมชุดพิเศษ

อัตราส่วน \(7:24:25\) สามารถขยายเป็น

\[ 14:48:50, \quad 21:72:75, \quad 35:120:125 \]

ทุกชุดยังเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะคูณทุกด้านด้วยจำนวนเดียวกัน

🧠

8. ตัวอย่างทำให้ดู

ตัวอย่างที่ 1: ใช้ค่า \(\sin\) หาด้าน

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว \(20\) หน่วย และ \(\sin A=\frac35\) จงหาด้านตรงข้ามมุม \(A\)

\[ \sin A = \frac{\text{ด้านตรงข้ามมุม }A}{20} = \frac35 \]
\[ \text{ด้านตรงข้ามมุม }A = \frac35(20) = 12 \]

ตอบ \(12\) หน่วย

ตัวอย่างที่ 2: ใช้ผลต่างของด้าน

สามเหลี่ยมมุมฉากมีอัตราส่วนด้าน \(5:12:13\) ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาวกว่าด้านสั้น \(24\) หน่วย จงหาด้านยาวอีกด้านหนึ่ง

กำหนดด้านเป็น

\[ 5k,\ 12k,\ 13k \]
\[ 13k-5k=24 \]
\[ 8k=24 \quad\Rightarrow\quad k=3 \]

ด้านยาวอีกด้านหนึ่งคือ

\[ 12k=12(3)=36 \]

ตอบ \(36\) หน่วย

ตัวอย่างที่ 3: ใช้ \(\tan\) และเส้นรอบรูป

ถ้า \(\tan A=\frac5{12}\) และสามเหลี่ยมมีเส้นรอบรูป \(60\) หน่วย จงหาพื้นที่

จาก \(\tan A=\frac5{12}\) ได้อัตราส่วนด้านเป็น

\[ 5:12:13 \]

ผลรวมอัตราส่วนเท่ากับ

\[ 5+12+13=30 \]

เมื่อเส้นรอบรูปเท่ากับ \(60\)

\[ k=\frac{60}{30}=2 \]

ด้านประกอบมุมฉากจึงยาว \(10\) และ \(24\)

\[ \text{พื้นที่} = \frac12(10)(24) = 120 \]

ตอบ \(120\) ตารางหน่วย

✏️

9. แบบฝึกหัดเสริม 5 ข้อ

ลองทำด้วยตนเองก่อนเปิดดูเฉลย

  1. ในสามเหลี่ยม \(ABC\) ถ้า \(C=90^\circ\) ด้านใดเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

    1. ด้าน \(AB\)
    2. ด้าน \(BC\)
    3. ด้าน \(AC\)
    4. ระบุไม่ได้
    ดูเฉลย

    ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม \(C\) คือด้าน \(AB\)

    ตอบ A

  2. สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว \(20\) หน่วย ถ้า \(\sin A=\frac35\) ด้านตรงข้ามมุม \(A\) ยาวเท่าใด

    1. 8 หน่วย
    2. 10 หน่วย
    3. 12 หน่วย
    4. 16 หน่วย
    ดูเฉลย
    \[ \frac{\text{ด้านตรงข้ามมุม }A}{20} = \frac35 \]
    \[ \text{ด้านตรงข้ามมุม }A=12 \]

    ตอบ C

  3. สามเหลี่ยมมุมฉากมีอัตราส่วนด้าน \(5:12:13\) ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาวกว่าด้านสั้น \(16\) หน่วย ด้านยาวอีกด้านหนึ่งยาวเท่าใด

    1. 20 หน่วย
    2. 24 หน่วย
    3. 26 หน่วย
    4. 32 หน่วย
    ดูเฉลย
    \[ 13k-5k=16 \]
    \[ 8k=16 \quad\Rightarrow\quad k=2 \]
    \[ 12k=24 \]

    ตอบ B

  4. สามเหลี่ยมมุมฉากมี \(\sin A=\frac8{17}\) ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาวกว่าด้านตรงข้ามมุม \(A\) อยู่ \(27\) หน่วย ด้านประชิดมุม \(A\) ยาวเท่าใด

    1. 24 หน่วย
    2. 40 หน่วย
    3. 45 หน่วย
    4. 51 หน่วย
    ดูเฉลย

    จาก \(\sin A=\frac8{17}\) ได้อัตราส่วนด้าน

    \[ 8:15:17 \]
    \[ 17k-8k=27 \]
    \[ 9k=27 \quad\Rightarrow\quad k=3 \]
    \[ \text{ด้านประชิด}=15k=45 \]

    ตอบ C

  5. สามเหลี่ยมมุมฉากมี \(\tan A=\frac5{12}\) และมีเส้นรอบรูป \(60\) หน่วย พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับเท่าใด

    1. 100 ตารางหน่วย
    2. 120 ตารางหน่วย
    3. 130 ตารางหน่วย
    4. 240 ตารางหน่วย
    ดูเฉลย

    อัตราส่วนด้านคือ \(5:12:13\) ซึ่งมีผลรวมเท่ากับ \(30\)

    \[ k=\frac{60}{30}=2 \]

    ด้านประกอบมุมฉากยาว \(10\) และ \(24\)

    \[ \text{พื้นที่} = \frac12(10)(24) = 120 \]

    ตอบ B

✅

10. กลับมาแก้โจทย์นำ

กำหนดให้ \(C\) เป็นมุมฉาก ดังนั้นด้านตรงข้ามมุม \(C\) คือ \(x\) ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

เมื่อพิจารณาที่มุม \(A\) ด้านตรงข้ามมุม \(A\) คือ \(z\)

ขั้นที่ 1 เขียนค่า \(\sin A\)

\[ \sin A = \frac{z}{x} = 0.28 \]

ขั้นที่ 2 เปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วน

\[ 0.28 = \frac{28}{100} = \frac7{25} \]

ดังนั้น

\[ \frac{z}{x} = \frac7{25} \]

กำหนดให้

\[ z=7k, \qquad x=25k \]

ขั้นที่ 3 หา \(y\)

จากสามเหลี่ยมชุดพิเศษ

\[ 7:24:25 \]

จึงได้

\[ y=24k \]

ขั้นที่ 4 ใช้เงื่อนไข \(x-z=90\)

\[ 25k-7k=90 \]
\[ 18k=90 \]
\[ k=5 \]

ดังนั้น

\[ x=25(5)=125 \]
\[ y=24(5)=120 \]
\[ z=7(5)=35 \]

ขั้นที่ 5 หาค่าที่โจทย์ถาม

\[ \frac{y-z}{17} = \frac{120-35}{17} \]
\[ = \frac{85}{17} = 5 \]

ตอบ 3) \(5\)

ทางลัดของข้อนี้

เมื่อเห็น \(\sin A=\frac7{25}\) ให้นึกถึงสามเหลี่ยม \(7:24:25\) ได้ทันที

\[ z:y:x=7:24:25 \]

แล้วใช้ผลต่าง \(x-z=(25-7)k=18k\) เพื่อหา \(k\)

🎓

11. Quiz แนวข้อสอบ 5 ข้อ

ข้อ 1 คือโจทย์นำเดิม ส่วนข้อ 2–5 เป็นโจทย์ระดับเดียวกันหรือยากกว่า

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 • โจทย์นำเดิม

รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีมุม \(C\) เป็นมุมฉาก ความยาวด้านตรงข้ามมุม \(C\) เท่ากับ \(x\) ความยาวด้านตรงข้ามมุม \(A\) เท่ากับ \(z\) และความยาวด้านตรงข้ามมุม \(B\) เท่ากับ \(y\)

ถ้า \(\sin A=0.28\) และ \(x-z=90\) แล้วค่าของ \(\frac{y-z}{17}\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย
\[ \sin A=0.28=\frac7{25} \]

จึงได้อัตราส่วน \(z:y:x=7:24:25\)

\[ (25-7)k=90 \quad\Rightarrow\quad k=5 \]
\[ \frac{y-z}{17} = \frac{120-35}{17} = 5 \]

ตอบ C

ข้อ 2

รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีมุม \(C\) เป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม \(C\), \(B\) และ \(A\) มีความยาว \(x\), \(y\) และ \(z\) ตามลำดับ

ถ้า \(\sin A=\frac35\) และ \(x-z=24\) แล้วค่าของ \(\frac{y+z}{7}\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย

จาก \(\sin A=\frac35\) ได้อัตราส่วน

\[ z:y:x=3:4:5 \]
\[ 5k-3k=24 \quad\Rightarrow\quad k=12 \]
\[ y=48, \qquad z=36 \]
\[ \frac{y+z}{7} = \frac{48+36}{7} = 12 \]

ตอบ D

ข้อ 3

รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีมุม \(C\) เป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม \(C\), \(B\) และ \(A\) มีความยาว \(x\), \(y\) และ \(z\) ตามลำดับ

ถ้า \(\sin A=\frac5{13}\) และ \(x-z=40\) แล้วค่าของ \(\frac{y-z}{7}\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย

จาก \(\sin A=\frac5{13}\) ได้อัตราส่วน

\[ z:y:x=5:12:13 \]
\[ 13k-5k=40 \quad\Rightarrow\quad k=5 \]
\[ y=60, \qquad z=25 \]
\[ \frac{y-z}{7} = \frac{60-25}{7} = 5 \]

ตอบ A

ข้อ 4

รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีมุม \(C\) เป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม \(C\), \(B\) และ \(A\) มีความยาว \(x\), \(y\) และ \(z\) ตามลำดับ

ถ้า \(\sin A=\frac8{17}\) และ \(x-y=18\) แล้วค่าของ \(\frac{x+z}{25}\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย

จาก \(\sin A=\frac8{17}\) ได้อัตราส่วน

\[ z:y:x=8:15:17 \]
\[ 17k-15k=18 \quad\Rightarrow\quad k=9 \]
\[ x=153, \qquad z=72 \]
\[ \frac{x+z}{25} = \frac{153+72}{25} = 9 \]

ตอบ E

ข้อ 5

รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีมุม \(C\) เป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม \(C\), \(B\) และ \(A\) มีความยาว \(x\), \(y\) และ \(z\) ตามลำดับ

ถ้า \(\cos A=\frac{12}{13}\) และ \(y-z=49\) แล้วค่าของ \(\frac{x+z}{14}\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย

เมื่อพิจารณาที่มุม \(A\) ด้านประชิดคือ \(y\) และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ \(x\)

\[ \cos A=\frac{y}{x}=\frac{12}{13} \]

จึงได้อัตราส่วน

\[ z:y:x=5:12:13 \]
\[ 12k-5k=49 \quad\Rightarrow\quad k=7 \]
\[ x=91, \qquad z=35 \]
\[ \frac{x+z}{14} = \frac{91+35}{14} = 9 \]

ตอบ B

📌

12. สรุป 1 นาที

\[ \sin\theta = \frac{\text{ด้านตรงข้าม}}{\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}} \]
\[ \cos\theta = \frac{\text{ด้านประชิด}}{\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}} \]
\[ \tan\theta = \frac{\text{ด้านตรงข้าม}}{\text{ด้านประชิด}} \]
\[ a^2+b^2=c^2 \]
\[ 0.28=\frac7{25} \quad\Rightarrow\quad 7:24:25 \]
  • ฉันระบุด้านตรงข้ามมุมฉากได้
  • ฉันแยกด้านตรงข้ามและด้านประชิดมุมได้
  • ฉันใช้ \(\sin\), \(\cos\) และ \(\tan\) ได้
  • ฉันเปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วนได้
  • ฉันใช้สามเหลี่ยมชุดพิเศษได้
  • ฉันใช้ผลต่างของด้านหาตัวคูณร่วมได้
  • ฉันกลับมาทำโจทย์นำได้ด้วยตนเอง
หัวใจของบท

เมื่อโจทย์ให้ค่าตรีโกณมิติเป็นเศษส่วนหรือทศนิยม อย่ารีบหามุม แต่ให้มองค่าดังกล่าวเป็น “อัตราส่วนของด้าน”

\[ \boxed{ \text{ค่าตรีโกณมิติ} \rightarrow \text{อัตราส่วนด้าน} \rightarrow \text{หาตัวคูณ} \rightarrow \text{หาความยาวจริง} } \]
กลับด้านบน