ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP5 ทบทวนเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP พิเศษ • Trigonometric Identities

ทบทวนเอกลักษณ์ตรีโกณมิติแบบเข้าใจที่มา ไม่ท่องแยกทุกสูตร

บทนี้เริ่มจากคำถามสำคัญว่า เอกลักษณ์ตรีโกณมิติคืออะไร และทำไมสูตรหลายสูตรจึงเชื่อมโยงกัน จากนั้นใช้ \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) เป็น “สูตรแม่” เพื่อสร้างสูตรอื่นและนำไปยุบ–แปลงนิพจน์ในโจทย์ข้อสอบ

เป้าหมายของบท
  • แยก “เอกลักษณ์” ออกจากสมการที่เป็นจริงเฉพาะบางค่าได้
  • จำสูตรสำคัญด้วยความสัมพันธ์ ไม่ใช่จำเป็นรายการยาว ๆ
  • สร้าง \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\) และ \(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\) ได้เอง
  • ใช้สูตรส่วนกลับและสูตรผลหารในการแปลงรูปได้
  • ทำโจทย์ยุบรูป พิสูจน์เอกลักษณ์ และโจทย์ประยุกต์ที่พบบ่อยได้
🪖

1. โจทย์นำจากแนวข้อสอบ

ถ้า \(\theta\) เป็นมุมที่ทำให้นิพจน์มีความหมาย จงทำให้นิพจน์ต่อไปนี้อยู่ในรูปอย่างง่าย

\[ \frac{1-\cos^2\theta}{\sin\theta} \]
  1. \(\sin\theta\)
  2. \(\cos\theta\)
  3. \(\tan\theta\)
  4. \(\sec\theta\)
ยังไม่ต้องรีบแทนค่ามุม

โจทย์ลักษณะนี้ไม่ได้ต้องการหา \(\theta\) แต่ต้องการดูว่าเรามองเห็น “ชิ้นส่วนของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ” ที่ซ่อนอยู่หรือไม่

ดูแนวคิดเบื้องต้น

นึกถึงสูตรแม่

\[ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \]

ย้าย \(\cos^2\theta\) ไปอีกข้าง จะได้

\[ 1-\cos^2\theta=\sin^2\theta \]

ดังนั้นเศษของโจทย์สามารถเปลี่ยนเป็น \(\sin^2\theta\) ได้ทันที

🔍

2. เอกลักษณ์ตรีโกณมิติคืออะไร

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ (Trigonometric Identity) คือความสัมพันธ์ที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าของมุม ที่นิพจน์ทั้งสองข้างมีความหมาย

\[ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \]

สมการนี้เป็นจริงไม่ว่า \(\theta\) จะเป็นมุมใด ตราบใดที่ค่าที่ใช้มีความหมาย จึงเรียกว่า “เอกลักษณ์”

เปรียบเทียบให้ชัด

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) เป็นเอกลักษณ์ แต่ \(\sin\theta=\frac12\) ไม่ใช่เอกลักษณ์ เพราะเป็นจริงเฉพาะมุมบางค่าเท่านั้น

คำถามที่ควรถามเวลาเจอโจทย์

“โจทย์ต้องการให้หามุม” หรือ “โจทย์ต้องการให้เราแปลงรูปนิพจน์” ถ้าเป็นอย่างหลัง มักต้องใช้อัตลักษณ์หรือเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

📘

3. สูตรแม่ที่ควรจำให้แม่น

ถ้าจะเลือกจำเพียงหนึ่งสูตรก่อน ให้จำสูตรนี้

\[ \boxed{\sin^2\theta+\cos^2\theta=1} \]

เพราะสามารถจัดรูปใหม่ได้อีกหลายแบบ

\[ 1-\sin^2\theta=\cos^2\theta \]
\[ 1-\cos^2\theta=\sin^2\theta \]
เทคนิคจำ

จำประโยคสั้น ๆ ว่า “ไซน์กำลังสอง + โคไซน์กำลังสอง = 1” แล้วอีกสองรูปไม่ต้องท่อง เพราะใช้การย้ายข้างจากสูตรแม่ได้

🧠

4. สูตรลูกสร้างจากสูตรแม่ได้อย่างไร

เริ่มจาก

\[ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \]

หารทุกพจน์ด้วย \(\cos^2\theta\)

\[ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} \]

เพราะ \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta\) และ \(\frac1{\cos\theta}=\sec\theta\)

\[ \boxed{\tan^2\theta+1=\sec^2\theta} \]

หารทุกพจน์ด้วย \(\sin^2\theta\)

\[ \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac1{\sin^2\theta} \]

เพราะ \(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta\) และ \(\frac1{\sin\theta}=\csc\theta\)

\[ \boxed{1+\cot^2\theta=\csc^2\theta} \]
จำแบบไม่ต้องท่อง 3 สูตร

จำสูตรแม่เพียง \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) แล้วถ้าลืมสูตรของ \(\tan,\sec\) ให้ “หารด้วย \(\cos^2\)” ถ้าลืมสูตรของ \(\cot,\csc\) ให้ “หารด้วย \(\sin^2\)”

🔄

5. สูตรผลหารและสูตรส่วนกลับ

สูตรผลหาร

\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]
\[ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \]

สูตรส่วนกลับ

\[ \sec\theta=\frac1{\cos\theta} \]
\[ \csc\theta=\frac1{\sin\theta} \]
\[ \cot\theta=\frac1{\tan\theta} \]
เทคนิคจำ “คู่ตรงข้าม”
  • \(\sin \leftrightarrow \csc\)
  • \(\cos \leftrightarrow \sec\)
  • \(\tan \leftrightarrow \cot\)

คู่เหล่านี้คูณกันแล้วได้ \(1\)

⚡

6. จุดสังเกตที่ช่วยทำข้อสอบเร็วขึ้น

รูปที่ 1: เห็น \(1-\sin^2\theta\)

\[ 1-\sin^2\theta=\cos^2\theta \]

รูปที่ 2: เห็น \(1-\cos^2\theta\)

\[ 1-\cos^2\theta=\sin^2\theta \]

รูปที่ 3: เห็น \(\sec^2\theta-1\)

\[ \sec^2\theta-1=\tan^2\theta \]

รูปที่ 4: เห็น \(\csc^2\theta-1\)

\[ \csc^2\theta-1=\cot^2\theta \]

รูปที่ 5: เห็น \((1-a)(1+a)\)

ให้นึกถึงผลต่างกำลังสอง

\[ (1-\sin\theta)(1+\sin\theta) = 1-\sin^2\theta = \cos^2\theta \]
เวลาพิสูจน์เอกลักษณ์

ให้เลือกจัด ข้างที่ซับซ้อนกว่าเพียงข้างเดียวก่อน ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนทั้งสองข้างพร้อมกัน

🧩

7. ตัวอย่างทำให้ดู

ตัวอย่างที่ 1: ใช้สูตรแม่โดยตรง

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

\[ \frac{1-\sin^2\theta}{\cos\theta} \]

จากสูตรแม่

\[ 1-\sin^2\theta=\cos^2\theta \]

ดังนั้น

\[ \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta \]

ตัวอย่างที่ 2: ใช้สูตร \(\sec^2-\tan^2\)

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

\[ \frac{\sec^2\theta-\tan^2\theta}{\cos\theta} \]

จาก \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\) จัดรูปได้ว่า

\[ \sec^2\theta-\tan^2\theta=1 \]

จึงได้

\[ \frac1{\cos\theta} = \sec\theta \]

ตัวอย่างที่ 3: ผลต่างกำลังสอง

\[ \frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)} {\sin\theta} \]

กระจายแบบผลต่างกำลังสองก่อน

\[ (1-\cos\theta)(1+\cos\theta) = 1-\cos^2\theta = \sin^2\theta \]

ดังนั้น

\[ \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta} = \sin\theta \]
✏️

8. แบบฝึกหัดเสริมความรู้ 5 ข้อ

ลองทำด้วยตนเองก่อนเปิดดูเฉลย

  1. จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย \[ \frac{1-\sin^2\theta}{\cos\theta} \]

    ดูเฉลย
    \[ \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta \]

    ตอบ \(\cos\theta\)

  2. จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย \[ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]

    ดูเฉลย
    \[ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta \]

    ตอบ \(\tan\theta\)

  3. จงหาค่าของ \[ \sec^2\theta-\tan^2\theta \]

    ดูเฉลย

    จาก \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\)

    \[ \sec^2\theta-\tan^2\theta=1 \]

    ตอบ \(1\)

  4. จงพิสูจน์ว่า \[ \frac{1-\cos^2\theta}{\sin\theta} = \sin\theta \]

    ดูเฉลย
    \[ \frac{1-\cos^2\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta} = \sin\theta \]

  5. จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย \[ (1-\sin\theta)(1+\sin\theta) \]

    ดูเฉลย
    \[ (1-\sin\theta)(1+\sin\theta) = 1-\sin^2\theta = \cos^2\theta \]

    ตอบ \(\cos^2\theta\)

✅

9. กลับมาแก้โจทย์นำ

โจทย์คือ

\[ \frac{1-\cos^2\theta}{\sin\theta} \]

ขั้นที่ 1 ใช้สูตรแม่

\[ 1-\cos^2\theta=\sin^2\theta \]

ขั้นที่ 2 แทนลงในนิพจน์

\[ \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta} \]

ขั้นที่ 3 ตัดตัวประกอบร่วม

\[ \frac{\sin\theta\cdot\sin\theta} {\sin\theta} = \sin\theta \]

ตอบ 1) \(\sin\theta\)

ทางลัดของข้อนี้

เห็น \(1-\cos^2\theta\) ให้คิดถึง \(\sin^2\theta\) ทันที แล้วจึงตัดกับ \(\sin\theta\) ที่อยู่ด้านล่าง

🎓

10. Quiz แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

เน้นรูปแบบที่มักพบ: ยุบรูป สูตรส่วนกลับ สูตรผลหาร ผลต่างกำลังสอง และการหาค่าจากข้อมูลที่กำหนด

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย \[ \frac{1-\sin^2\theta}{\cos\theta} \]

ดูคำอธิบาย
\[ 1-\sin^2\theta=\cos^2\theta \]
\[ \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta \]

ตอบ B

ข้อ 2

ค่าของ \[ \frac{\tan\theta}{\sec\theta} \] เท่ากับข้อใด

ดูคำอธิบาย
\[ \frac{\tan\theta}{\sec\theta} = \frac{\sin\theta/\cos\theta} {1/\cos\theta} = \sin\theta \]

ตอบ D

ข้อ 3

จงหาค่าของ \[ (1-\cos\theta)(1+\cos\theta) + \cos^2\theta \]

ดูคำอธิบาย
\[ (1-\cos^2\theta)+\cos^2\theta = \sin^2\theta+\cos^2\theta = 1 \]

ตอบ A

ข้อ 4

ถ้า \(\tan\theta=\frac34\) และ \(\theta\) เป็นมุมแหลม ค่าของ \(\sec\theta\) เท่ากับข้อใด

ดูคำอธิบาย

จาก \(\tan\theta=\frac34\) มองเป็นสามเหลี่ยมอัตราส่วน \(3:4:5\)

\[ \cos\theta=\frac45 \]
\[ \sec\theta = \frac1{\cos\theta} = \frac54 \]

ตอบ C

ข้อ 5

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย \[ \frac{\sec^2\theta-1}{\tan\theta} \]

ดูคำอธิบาย
\[ \sec^2\theta-1=\tan^2\theta \]
\[ \frac{\tan^2\theta}{\tan\theta} = \tan\theta \]

ตอบ B

📌

11. สรุป 1 นาที

\[ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \]
\[ 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta \]
\[ 1+\cot^2\theta=\csc^2\theta \]
\[ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]
\[ \sec\theta=\frac1{\cos\theta}, \qquad \csc\theta=\frac1{\sin\theta} \]
  • ฉันรู้ว่าเอกลักษณ์คือความสัมพันธ์ที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าที่นิพจน์มีความหมาย
  • ฉันจำสูตรแม่ \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) ได้
  • ฉันสร้างสูตรของ \(\tan,\sec\) จากการหารด้วย \(\cos^2\theta\) ได้
  • ฉันสร้างสูตรของ \(\cot,\csc\) จากการหารด้วย \(\sin^2\theta\) ได้
  • ฉันรู้จักสูตรผลหารและสูตรส่วนกลับ
  • ฉันมองเห็นผลต่างกำลังสองในโจทย์ตรีโกณมิติ
  • ฉันเลือกจัดข้างที่ซับซ้อนกว่าเมื่อพิสูจน์เอกลักษณ์ได้
หัวใจของบท

อย่าจำเอกลักษณ์เป็นสูตรโดด ๆ ให้มองเป็นเครือข่ายที่สร้างจากสูตรแม่

\[ \boxed{ \text{สูตรแม่} \rightarrow \text{หารทั้งสมการ} \rightarrow \text{สูตรลูก} \rightarrow \text{มองรูปที่ซ่อนอยู่} \rightarrow \text{ยุบโจทย์} } \]
กลับด้านบน