ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP2 การทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์และจำนวนคู่สังยุค

เรียนรู้การทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์ด้วย Rationalize การใช้จำนวนคู่สังยุค และสูตรผลต่างกำลังสอง พร้อมตัวอย่าง แบบฝึกหัด และแบบทดสอบท้ายบท

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP2 • Foundation Mathematics

Rationalize และจำนวนคู่สังยุค

ฝึกทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์ รู้จักจำนวนคู่สังยุค และนำไปใช้จัดรูปคำตอบในโจทย์พีชคณิตและตรีโกณมิติ

เป้าหมาย

เลือกตัวคูณได้ถูกต้อง ทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์ และจัดคำตอบให้อยู่ในรูปมาตรฐานได้

❓

1. ปัญหานำ

จากโจทย์ตรีโกณมิติ เราอาจแก้สมการจนได้คำตอบ

h = 20 / (√3−1)

แม้จะหาค่า h ได้แล้ว แต่ส่วนของเศษส่วนยังมีกรณฑ์ จึงควรจัดรูปต่อ

h = 10(√3+1)
จุดที่นักเรียนมักติด

ขั้นตอนนี้ไม่ใช่เรื่องตรีโกณมิติโดยตรง แต่เป็นการจัดรูปพีชคณิต

📘

2. Rationalize คืออะไร

Rationalize คือ การจัดรูปเศษส่วนเพื่อทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์

5/√2

คูณทั้งเศษและส่วนด้วย √2

(5/√2)(√2/√2) = 5√2/2
ความหมายสำคัญ

Rationalize คือกระบวนการที่เราต้องการทำ ไม่ใช่ชื่อของตัวคูณ

🔄

3. จำนวนคู่สังยุคคืออะไร

Conjugate หรือ จำนวนคู่สังยุค คือ นิพจน์ที่มีพจน์เหมือนเดิม แต่เปลี่ยนเครื่องหมายตรงกลาง

√3+1 ↔ √3−1
√5−2 ↔ √5+2
3+√7 ↔ 3−√7
จำง่าย

เครื่องหมายบวกเปลี่ยนเป็นลบ และเครื่องหมายลบเปลี่ยนเป็นบวก

🔗

4. Rationalize กับ Conjugate ต่างกันอย่างไร

  • Rationalize คือ เป้าหมายหรือกระบวนการทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์
  • Conjugate คือ เครื่องมือที่นำมาคูณเมื่อส่วนมีสองพจน์
Rationalize = สิ่งที่ต้องการทำ
Conjugate = เครื่องมือที่ใช้ทำ
ข้อควรระวัง

จำนวนคู่สังยุคไม่ใช่ “ตัวประกอบร่วม” เพราะตัวประกอบร่วมเป็นคำที่มีความหมายอีกแบบหนึ่งในคณิตศาสตร์

🧩

5. ทำไมคู่สังยุคจึงทำให้กรณฑ์หาย

เพราะอาศัยสูตรผลต่างกำลังสอง

(a+b)(a−b) = a²−b²

ตัวอย่าง

(√5+2)(√5−2)
= (√5)²−2²
= 5−4
= 1
เหตุผลที่กรณฑ์หาย

เมื่อนำพจน์คู่สังยุคมาคูณกัน พจน์ตรงกลางจะหักล้างกัน เหลือเพียงผลต่างของกำลังสอง

🧠

6. รูปแบบที่ควรจำ

กรณีที่ 1 ส่วนเป็นกรณฑ์พจน์เดียว

a/√b

ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย √b

(a/√b)(√b/√b) = a√b/b

กรณีที่ 2 ส่วนมีสองพจน์

a/(√b+c)

ใช้คู่สังยุค √b−c

a/(√b+c) × (√b−c)/(√b−c)

กรณีที่ 3 ส่วนเป็นผลต่าง

a/(√b−c)

ใช้คู่สังยุค √b+c

a/(√b−c) × (√b+c)/(√b+c)
1️⃣

7. ตัวอย่างที่ 1 ส่วนเป็นกรณฑ์พจน์เดียว

จงจัดรูป

4/√3

คูณทั้งเศษและส่วนด้วย √3

(4/√3)(√3/√3)
= 4√3/3
ตอบ

4√3/3

2️⃣

8. ตัวอย่างที่ 2 ส่วนเป็นผลบวก

จงจัดรูป

8/(√3+1)

คู่สังยุคของ √3+1 คือ √3−1

8/(√3+1) × (√3−1)/(√3−1)
= 8(√3−1) / [(√3+1)(√3−1)]
= 8(√3−1)/(3−1)
= 8(√3−1)/2
= 4(√3−1)
ตอบ

4(√3−1)

3️⃣

9. ตัวอย่างที่ 3 ส่วนเป็นผลต่าง

จงจัดรูป

20/(√3−1)

คู่สังยุคของ √3−1 คือ √3+1

20/(√3−1) × (√3+1)/(√3+1)
= 20(√3+1) / [(√3−1)(√3+1)]
= 20(√3+1)/(3−1)
= 20(√3+1)/2
= 10(√3+1)
ตอบ

10(√3+1)

📐

10. ตัวอย่างเชื่อมโยงกับตรีโกณมิติ

จากโจทย์มุมเงย อาจแก้สมการจนได้

h = 20/(√3−1)

ใช้คู่สังยุค √3+1

h = 20/(√3−1) × (√3+1)/(√3+1)
h = 20(√3+1)/(3−1)
h = 10(√3+1)
แยกให้ออก

การใช้ tan เพื่อตั้งสมการเป็นเรื่องตรีโกณมิติ ส่วนการทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์เป็นเรื่องพีชคณิต

⚠️

11. จุดที่มักผิด

ผิดแบบที่ 1 คูณเฉพาะส่วน

8/(√3+1) × (√3−1)
ไม่ถูกต้อง

ต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน เพื่อให้ค่าของเศษส่วนเดิมไม่เปลี่ยน

ผิดแบบที่ 2 ใช้เครื่องหมายเดิม

ถ้าส่วนเป็น √3−1 ต้องใช้ √3+1 ไม่ใช่ √3−1

ผิดแบบที่ 3 ใช้สูตรผลต่างกำลังสองผิด

(a+b)(a−b) = a²−b²

ไม่ใช่ a²+b²

ผิดแบบที่ 4 กระจายเฉพาะส่วน

เศษด้านบนต้องคูณด้วยคู่สังยุคด้วยเช่นกัน

⚡

12. เทคนิคเลือกวิธีเร็ว

  1. ดูว่าส่วนมีกรณฑ์หรือไม่
  2. ถ้าส่วนเป็นกรณฑ์พจน์เดียว ให้คูณด้วยกรณฑ์เดิม
  3. ถ้าส่วนมีสองพจน์ ให้หาจำนวนคู่สังยุค
  4. คูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน
  5. ใช้สูตรผลต่างกำลังสองกับส่วน
  6. ตัดทอนและจัดรูปคำตอบให้เรียบร้อย
จำเป็นขั้นตอน

ดูส่วน → เลือกตัวคูณ → คูณทั้งเศษและส่วน → จัดรูป

✏️

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

  1. จงทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์

    3/√2
    ดูเฉลย
    3/√2 × √2/√2
    = 3√2/2

    ตอบ 3√2/2

  2. จงทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์

    5/√7
    ดูเฉลย
    5/√7 × √7/√7
    = 5√7/7

    ตอบ 5√7/7

  3. จงทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์

    8/(√5+1)
    ดูเฉลย

    คู่สังยุคของ √5+1 คือ √5−1

    8/(√5+1) × (√5−1)/(√5−1)
    = 8(√5−1)/(5−1)
    = 2(√5−1)

    ตอบ 2(√5−1)

  4. จงทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์

    12/(2+√3)
    ดูเฉลย

    คู่สังยุคของ 2+√3 คือ 2−√3

    12/(2+√3) × (2−√3)/(2−√3)
    = 12(2−√3)/(4−3)
    = 12(2−√3)

    ตอบ 12(2−√3)

  5. จงทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์

    10/(√3−1)
    ดูเฉลย

    คู่สังยุคของ √3−1 คือ √3+1

    10/(√3−1) × (√3+1)/(√3+1)
    = 10(√3+1)/(3−1)
    = 5(√3+1)

    ตอบ 5(√3+1)

🎓

14. แบบทดสอบท้ายบท 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 คู่สังยุคของ √7+2 คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

เปลี่ยนเครื่องหมายตรงกลางจากบวกเป็นลบ

ตอบ B

ข้อ 2 จุดประสงค์ของ Rationalize คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

Rationalize คือการทำให้ส่วนของเศษส่วนไม่มีกรณฑ์

ตอบ B

ข้อ 3 คู่สังยุคของ 3−√2 คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

เปลี่ยนเครื่องหมายลบตรงกลางเป็นเครื่องหมายบวก

ตอบ A

ข้อ 4 ค่าของ (√5+1)(√5−1) เท่ากับข้อใด
ดูคำอธิบาย
(√5+1)(√5−1) = 5−1 = 4

ตอบ A

ข้อ 5 จัดรูป 6/√3 ได้ข้อใด
ดูคำอธิบาย
6/√3 × √3/√3 = 6√3/3 = 2√3

ตอบ A

📌

15. สรุป

Rationalize = ทำให้ส่วนไม่มีกรณฑ์
Conjugate = จำนวนคู่สังยุค
(a+b)(a−b) = a²−b²
  • ถ้าส่วนเป็น √a ให้คูณด้วย √a
  • ถ้าส่วนเป็น a+√b ให้คูณด้วย a−√b
  • ถ้าส่วนเป็น a−√b ให้คูณด้วย a+√b
  • ต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน
  • ใช้สูตรผลต่างกำลังสองจัดรูปส่วน
จำเป็นขั้นตอน

ดูส่วน → เลือกตัวคูณ → คูณทั้งเศษและส่วน → ใช้ผลต่างกำลังสอง → ตัดทอน

กลับด้านบน