lesson

EP1: สมการวงกลม จากจุดกำเนิดสู่กำลังสองสมบูรณ์

สมการวงกลมจากสูตรระยะทาง การอ่านจุดศูนย์กลางและรัศมี

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

ผ่านแล้ว 0/0 EP

เหลือ 0 EP

ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน

กำลังโหลด…

ดีที่สุด 0%

ล่าสุด –

ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

เสริมพิเศษ EP1 • เวลาเรียนประมาณ 5 นาที

สมการวงกลม จากจุดกำเนิดสู่กำลังสองสมบูรณ์

เข้าใจที่มาของสมการวงกลม อ่านจุดศูนย์กลางและรัศมี พร้อมเทคนิคจัดรูปสมการทั่วไปอย่างเป็นขั้นตอน

เป้าหมายการเรียนรู้

เข้าใจที่มาของสมการวงกลมจากสูตรระยะทาง
อ่านจุดศูนย์กลางและรัศมีได้
ทำกำลังสองสมบูรณ์ได้
แยกวงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลาได้เบื้องต้น

1. สมการวงกลมมาจากไหน

วงกลม คือ จุดทุกจุดที่อยู่ห่างจาก จุดศูนย์กลาง เป็นระยะเท่ากัน ระยะนี้เรียกว่า รัศมี

ให้จุดศูนย์กลางเป็น \((h,k)\) และจุดบนวงกลมเป็น \((x,y)\)

จากสูตรระยะทางระหว่างสองจุด

\(d=\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}\)

สำหรับวงกลม ระยะ \(d\) เท่ากับรัศมี \(r\)

\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)

นี่คือ สมการมาตรฐานของวงกลม

2. วงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

จุดกำเนิดคือ \((0,0)\) ดังนั้น \(h=0\) และ \(k=0\)

\(x^2+y^2=r^2\)

ภาพจำ: ถ้าไม่มีวงเล็บเลื่อนตำแหน่ง จุดศูนย์กลางมักอยู่ที่ \((0,0)\)

3. อ่านจุดศูนย์กลางและรัศมี

พิจารณาสมการ

\((x+2)^2+(y-3)^2=25\)

เปรียบเทียบกับ

\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)

\(x+2=x-(-2)\)

\(y-3=y-(3)\)

\(r=\sqrt{25}=5\)

ตอบ:
จุดศูนย์กลาง \((-2,3)\)
รัศมี \(5\) หน่วย

เทคนิคจำ: จุดศูนย์กลางต้องสลับเครื่องหมายกับค่าในวงเล็บ

4. เทคนิคทำกำลังสองสมบูรณ์

จำ 4 ขั้นตอน
ดูเลขหน้าตัวแปร → หาร 2 → ใส่วงเล็บ → ยกกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

\(x^2+4x\)

\(4\div2=2\)

\((x+2)^2=x^2+4x+4\)

\(x^2+4x=(x+2)^2-4\)

ตัวอย่างที่ 2

\(y^2-6y\)

\(-6\div2=-3\)

\((y-3)^2=y^2-6y+9\)

\(y^2-6y=(y-3)^2-9\)

5. จัดรูปสมการทั่วไป

\(x^2+4x+y^2-6y=12\)

ขั้นที่ 1 จัดกลุ่ม

\((x^2+4x)+(y^2-6y)=12\)

ขั้นที่ 2 ทำกำลังสองสมบูรณ์

\(x^2+4x=(x+2)^2-4\)

\(y^2-6y=(y-3)^2-9\)

ขั้นที่ 3 แทนกลับ

\((x+2)^2-4+(y-3)^2-9=12\)

\((x+2)^2+(y-3)^2-13=12\)

ขั้นที่ 4 ย้ายค่าคงที่

\((x+2)^2+(y-3)^2=12+13\)

\((x+2)^2+(y-3)^2=25\)

จุดศูนย์กลาง \((-2,3)\)
รัศมี \(\sqrt{25}=5\)

25 มาจากไหน

\(12+4+9=25\)

โดย 4 มาจาก \((4\div2)^2\) และ 9 มาจาก \((-6\div2)^2\)

6. เทคนิคแยกรูปกราฟ

ลักษณะที่เห็น	รูปกราฟ
มีทั้ง \(x^2,y^2\) เครื่องหมายเดียวกัน และเลขหน้าเท่ากัน	วงกลม
มีทั้ง \(x^2,y^2\) เครื่องหมายเดียวกัน แต่เลขหน้าไม่เท่ากัน	วงรี
มีตัวแปรยกกำลังสองเพียงตัวเดียว	พาราโบลา
มีทั้ง \(x^2,y^2\) แต่เครื่องหมายต่างกัน	ไฮเพอร์โบลา

จำสั้น ๆ
เท่ากัน = กลม
ไม่เท่ากัน = รี
มีกำลังสองตัวเดียว = พาราโบลา
คนละเครื่องหมาย = ไฮเพอร์โบลา

สรุปใน 30 วินาที

สมการวงกลมคือ \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
จุดศูนย์กลางต้องสลับเครื่องหมายกับค่าในวงเล็บ
ค่าด้านขวาคือ \(r^2\)
กำลังสองสมบูรณ์: ดูเลขหน้า → หาร 2 → ใส่วงเล็บ → ยกกำลังสอง

แบบฝึกหัด 2 ข้อ

1. จัดรูป \(x^2+8x\) เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ก. \((x+2)^2-4\)

ข. \((x+4)^2-16\)

ค. \((x+8)^2-64\)

ง. \((x+4)^2-8\)

2. จากสมการ \((x-3)^2+(y+4)^2=16\) จุดศูนย์กลางคือข้อใด

ก. \((3,-4)\)

ข. \((-3,4)\)

ค. \((3,4)\)

ง. \((-3,-4)\)

Quiz แนวข้อสอบ 3 ข้อ

1. จากสมการ \((x+2)^2+(y-3)^2=25\) รัศมีเท่าใด

ก. 2

ข. 3

ค. 5

ง. 25

2. สมการใดเป็นวงรี

ก. \(x^2+y^2=16\)

ข. \(4x^2+9y^2=36\)

ค. \(x^2=8y\)

ง. \(x^2-y^2=9\)

3. จงหาจุดศูนย์กลางของวงกลม

\(x^2+y^2-6x+4y-12=0\)

ก. \((3,-2)\)

ข. \((-3,2)\)

ค. \((3,2)\)

ง. \((-3,-2)\)

📘 เฉลยแบบฝึกหัดและ Quiz

แบบฝึกหัดข้อ 1

ตอบ ข.

\(8\div2=4\)

\(x^2+8x=(x+4)^2-16\)

แบบฝึกหัดข้อ 2

ตอบ ก. \((3,-4)\)
เพราะต้องสลับเครื่องหมายกับค่าในวงเล็บ

Quiz ข้อ 1

\(r^2=25\)

\(r=\sqrt{25}=5\)

ตอบ ค.

Quiz ข้อ 2

ตอบ ข.
เพราะมีทั้ง \(x^2\) และ \(y^2\) เครื่องหมายเดียวกัน แต่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากัน

Quiz ข้อ 3

\((x^2-6x)+(y^2+4y)=12\)

\((x-3)^2-9+(y+2)^2-4=12\)

\((x-3)^2+(y+2)^2=25\)

จุดศูนย์กลางคือ \((3,-2)\)
ตอบ ก.

เทคนิคสุดท้าย

จัดกลุ่มตัวแปร → หารเลขหน้าตัวแปรด้วย 2 → ใส่วงเล็บ → ยกกำลังสอง → ย้ายค่าคงที่ → อ่านจุดศูนย์กลางและหารัศมี