ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP4 พิเศษ ปรับพื้นฐานสมการเส้นตรง จุดตัดแกน และความชัน

พื้นฐานสมการเส้นตรง รูปทั่วไป รูปความชัน–จุดตัดแกน การหาจุดตัดแกน x และ y ความชัน เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

📈
EP พิเศษ • Foundation Mathematics

ปรับพื้นฐานสมการเส้นตรง จุดตัดแกน และความชัน

ทบทวนความหมายของสมการเส้นตรง การอ่านกราฟ จุดตัดแกน ความชัน รูปสมการที่พบบ่อย ตลอดจนความสัมพันธ์ของเส้นขนานและเส้นตั้งฉาก

เป้าหมาย

อ่านสมการเส้นตรงได้ หาจุดตัดแกนและความชันได้ เขียนสมการจากข้อมูลที่กำหนด และนำไปใช้ในโจทย์เรขาคณิตวิเคราะห์ได้

❓

1. ปัญหานำ

กำหนดเส้นตรง

4x + 3y − 20 = 0

เส้นตรงนี้ตัดแกนใดบ้าง มีความชันเท่าใด และผ่านจุด (5,0) หรือไม่

การตอบคำถามเหล่านี้ต้องรู้เรื่องจุดตัดแกน ความชัน และการตรวจว่าจุดอยู่บนเส้นตรงหรือไม่

เส้น

2. สมการเส้นตรงคืออะไร

สมการเส้นตรง คือสมการที่เมื่อนำไปเขียนบนระนาบพิกัดแล้วได้กราฟเป็นเส้นตรง จุดทุกจุดบนเส้นตรงจะทำให้สมการเป็นจริง

ตัวอย่าง

x + y = 5
  • (0,5) อยู่บนเส้นตรง เพราะ 0 + 5 = 5
  • (2,3) อยู่บนเส้นตรง เพราะ 2 + 3 = 5
  • (5,0) อยู่บนเส้นตรง เพราะ 5 + 0 = 5
หลักสำคัญ

ถ้าแทนพิกัดของจุดลงในสมการแล้วสมการเป็นจริง แสดงว่าจุดนั้นอยู่บนเส้นตรง

XY

3. ระนาบพิกัดฉาก

  • แกน x: แกนนอน
  • แกน y: แกนตั้ง
  • จุดกำเนิด: จุด (0,0)
จุดบนแกน x มีรูป (x,0)
จุดบนแกน y มีรูป (0,y)
สังเกตให้ดี

จุดบนแกน x ต้องมี y = 0 ส่วนจุดบนแกน y ต้องมี x = 0

✂️

4. จุดตัดแกน x

จุดตัดแกน x คือจุดที่เส้นตรงตัดแกนนอน เพราะทุกจุดบนแกน x มีค่า y = 0

หาจุดตัดแกน x ให้แทน y = 0

ตัวอย่าง เส้นตรง 2x + 3y = 12

2x + 3(0) = 12
x = 6

จุดตัดแกน x คือ (6,0)

✂️

5. จุดตัดแกน y

จุดตัดแกน y คือจุดที่เส้นตรงตัดแกนตั้ง เพราะทุกจุดบนแกน y มีค่า x = 0

หาจุดตัดแกน y ให้แทน x = 0

ตัวอย่าง เส้นตรง 2x + 3y = 12

2(0) + 3y = 12
y = 4

จุดตัดแกน y คือ (0,4)

สูตร

6. สูตรลัดหาจุดตัดแกน

สำหรับสมการรูปทั่วไป

Ax + By + C = 0

เมื่อ A และ B ไม่เท่ากับศูนย์

จุดตัดแกน x = (−C/A, 0)
จุดตัดแกน y = (0, −C/B)
ไม่ควรท่องอย่างเดียว

สูตรนี้มาจากการแทน y = 0 เพื่อหาจุดตัดแกน x และแทน x = 0 เพื่อหาจุดตัดแกน y

↗

7. ความชันคืออะไร

ความชันบอกว่าเมื่อเคลื่อนไปทางขวา เส้นตรงสูงขึ้นหรือต่ำลงเพียงใด

m = การเปลี่ยนแปลงแนวตั้ง / การเปลี่ยนแปลงแนวนอน
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
  • m > 0: เส้นลาดขึ้นจากซ้ายไปขวา
  • m < 0: เส้นลาดลงจากซ้ายไปขวา
  • m = 0: เส้นแนวนอน
  • ความชันหาค่าไม่ได้: เส้นแนวตั้ง
📐

8. หาความชันจากสองจุด

เส้นตรงผ่านจุด (1,2) และ (5,10) จงหาความชัน

m = (10 − 2)/(5 − 1)
m = 8/4 = 2

หมายความว่า เมื่อ x เพิ่มขึ้น 1 หน่วย ค่า y จะเพิ่มขึ้น 2 หน่วย

ระวังลำดับ

ถ้าเศษเริ่มจากจุดที่ 2 ส่วนต้องเริ่มจากจุดที่ 2 เช่นกัน ห้ามสลับเฉพาะเศษหรือเฉพาะส่วน

ทั่วไป

9. สมการเส้นตรงรูปทั่วไป

Ax + By + C = 0

โดย A และ B ต้องไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

ตัวอย่าง

4x + 3y − 20 = 0

รูปทั่วไปใช้ได้กับเส้นตรงทุกแบบ รวมถึงเส้นแนวตั้งและแนวนอน

เส้นแนวตั้ง: x = a
เส้นแนวนอน: y = b
m,c

10. รูปความชัน–จุดตัดแกน

y = mx + c
  • m: ความชัน
  • c: พิกัด y ของจุดตัดแกน y

ตัวอย่าง

y = −2x + 5
  • ความชันเท่ากับ −2
  • จุดตัดแกน y คือ (0,5)
  • กราฟลาดลงจากซ้ายไปขวา
แปลง

11. แปลงรูปทั่วไปเป็น y = mx + c

กำหนด

4x + 3y − 20 = 0
3y = −4x + 20
y = (−4/3)x + 20/3

ดังนั้น ความชันเท่ากับ −4/3 และเส้นตรงลาดลงจากซ้ายไปขวา

−A/B

12. ความชันจากสมการรูปทั่วไป

จากสมการ

Ax + By + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับศูนย์

m = −A/B

ตัวอย่าง

6x − 2y + 5 = 0
m = −6/(−2) = 3
จุด-m

13. รูปจุด–ความชัน

เมื่อรู้จุดหนึ่งจุดและความชัน ใช้สูตร

y − y₁ = m(x − x₁)

ตัวอย่าง เส้นตรงผ่านจุด (2,−1) และมีความชัน 3

y − (−1) = 3(x − 2)
y + 1 = 3x − 6
y = 3x − 7
2 จุด

14. เขียนสมการจากสองจุด

กำหนดจุด (1,2) และ (5,6)

m = (6 − 2)/(5 − 1) = 1
y − 2 = 1(x − 1)
y = x + 1
∥

15. เส้นตรงขนานกัน

เส้นตรงสองเส้นที่มีทิศทางเดียวกันและไม่ตัดกัน มีความชันเท่ากัน

เส้นขนาน: m₁ = m₂

ตัวอย่าง

y = 2x + 1
y = 2x − 5

ทั้งสองเส้นมีความชัน 2 จึงขนานกัน

⊥

16. เส้นตรงตั้งฉากกัน

ถ้าเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันและความชันของทั้งสองเส้นมีค่า

m₁m₂ = −1

ตัวอย่าง ถ้าเส้นแรกมีความชัน 2 เส้นที่ตั้งฉากต้องมีความชัน −1/2

กรณีพิเศษ

เส้นแนวนอนตั้งฉากกับเส้นแนวตั้ง แม้ความชันของเส้นแนวตั้งจะหาค่าไม่ได้

ตรวจ

17. ตรวจว่าจุดอยู่บนเส้นตรงหรือไม่

พิจารณาจุด (5,0) กับเส้นตรง

4x + 3y − 20 = 0
4(5) + 3(0) − 20 = 0

สมการเป็นจริง จึงสรุปว่า จุด (5,0) อยู่บนเส้นตรง

วงกลม

18. ตรวจว่าเส้นตรงผ่านศูนย์กลางวงกลมหรือไม่

กำหนดวงกลม

x² + y² − 10x = 0
(x − 5)² + y² = 25

ศูนย์กลางคือ (5,0) และรัศมีเท่ากับ 5

ตรวจเส้นตรง 4x + 3y − 20 = 0 โดยแทน (5,0)

4(5) + 3(0) − 20 = 0

จึงสรุปว่าเส้นตรงนี้ผ่านศูนย์กลางวงกลม

ผลที่ตามมา

ส่วนของเส้นตรงที่อยู่ภายในวงกลมเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ยาว 2r และแบ่งพื้นที่วงกลมออกเป็นสองส่วนเท่ากัน

⚡

19. เทคนิคทำข้อสอบ

  1. หาจุดตัดแกน x ให้แทน y = 0
  2. หาจุดตัดแกน y ให้แทน x = 0
  3. เห็น y = mx + c ให้มอง m เป็นความชัน และ (0,c) เป็นจุดตัดแกน y
  4. เห็น Ax + By + C = 0 ใช้ m = −A/B เมื่อ B ไม่เท่ากับศูนย์
  5. เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
  6. เส้นตั้งฉากมีผลคูณความชันเท่ากับ −1
  7. ตรวจว่าจุดอยู่บนเส้นหรือไม่ ให้แทนพิกัดลงในสมการ
  8. เส้น x = a เป็นเส้นแนวตั้ง และเส้น y = b เป็นเส้นแนวนอน
✏️

20. แบบฝึกหัด 10 ข้อ

  1. จงหาจุดตัดแกน x และจุดตัดแกน y ของเส้นตรง 2x + y = 8

    ดูเฉลย

    แทน y = 0 ได้ 2x = 8 ดังนั้น x = 4 จุดตัดแกน x คือ (4,0)

    แทน x = 0 ได้ y = 8 จุดตัดแกน y คือ (0,8)

  2. จงหาความชันของเส้นตรง 3x − 2y + 5 = 0

    ดูเฉลย

    m = −A/B = −3/(−2)

    ตอบ 3/2

  3. จงเขียนสมการ 4x + 2y − 10 = 0 ให้อยู่ในรูป y = mx + c

    ดูเฉลย

    2y = −4x + 10

    y = −2x + 5

  4. เส้นตรงผ่านจุด (2,−1) และมีความชัน 3 จงหาสมการเส้นตรง

    ดูเฉลย

    y + 1 = 3(x − 2)

    y = 3x − 7

  5. เส้นตรงผ่านจุด (1,2) และ (5,6) จงหาสมการเส้นตรง

    ดูเฉลย

    m = (6 − 2)/(5 − 1) = 1

    y = x + 1

  6. จงหาสมการเส้นตรงที่ขนานกับ 2x + 3y = 6 และผ่านจุด (1,4)

    ดูเฉลย

    เขียนเป็น 2x + 3y + C = 0 แทน (1,4) ได้ C = −14

    ตอบ 2x + 3y − 14 = 0

  7. จงหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ 4x − y = 8 และผ่านจุด (3,−2)

    ดูเฉลย

    เส้นเดิมมีความชัน 4 เส้นตั้งฉากมีความชัน −1/4

    y + 2 = (−1/4)(x − 3)

    ตอบ x + 4y + 5 = 0

  8. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านศูนย์กลางของวงกลม (x − 2)² + (y + 1)² = 16 และขนานกับ x + y = 5

    ดูเฉลย

    ศูนย์กลางคือ (2,−1) เส้นขนานเขียนเป็น x + y + C = 0

    แทน (2,−1) ได้ C = −1

    ตอบ x + y − 1 = 0

  9. จงหาจุดตัดของเส้นตรง x + y = 7 และ 2x − y = 2

    ดูเฉลย

    บวกสมการได้ 3x = 9 จึงได้ x = 3 และ y = 4

    จุดตัดคือ (3,4)

  10. รถแท็กซี่คิดค่าโดยสารเริ่มต้น 35 บาท และเพิ่มกิโลเมตรละ 6 บาท จงเขียนสมการแสดงค่าโดยสาร y บาท เมื่อเดินทาง x กิโลเมตร

    ดูเฉลย

    อัตราเพิ่มต่อกิโลเมตรคือความชัน 6 และค่าเริ่มต้นคือ 35

    ตอบ y = 6x + 35

🎓

21. แบบทดสอบระดับสอบเข้า ม.4 โครงการพิเศษ 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 ถ้าเส้นตรง ax + 4y = 12 มีความชันเท่ากับ 2 แล้ว a มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

จาก ax + 4y = 12 ได้ y = (−a/4)x + 3 ดังนั้น −a/4 = 2

a = −8

ตอบ C

ข้อ 2 เส้นตรงผ่านจุด (2,3) และ (6,11) มีความชันเท่าใด
ดูคำอธิบาย

m = (11 − 3)/(6 − 2) = 8/4 = 2

ตอบ B

ข้อ 3 วงกลม (x − 3)² + (y + 2)² = 25 มีศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรงข้อใด
ดูคำอธิบาย

ศูนย์กลางวงกลมคือ (3,−2)

แทนใน x + y − 1 = 0 ได้ 3 − 2 − 1 = 0

ตอบ D

ข้อ 4 เส้นตรง (k − 1)x + 2y − 5 = 0 ตั้งฉากกับเส้นตรง x − y + 4 = 0 แล้ว k มีค่าเท่าใด
ดูคำอธิบาย

เส้น x − y + 4 = 0 มีความชัน 1 เส้นที่ตั้งฉากจึงมีความชัน −1

เส้นแรกมีความชัน −(k − 1)/2

−(k − 1)/2 = −1 จึงได้ k = 3

ตอบ A

ข้อ 5 เส้นตรงเส้นหนึ่งผ่านจุดตัดของ x + y = 4 และ 2x − y = 1 และขนานกับ 3x − y + 5 = 0 สมการของเส้นตรงนี้คือข้อใด
ดูคำอธิบาย

แก้ระบบสมการได้จุดตัด (5/3,7/3)

เส้นที่ขนานกับ 3x − y + 5 = 0 เขียนเป็น 3x − y + C = 0

แทนจุดได้ C = −8/3 จึงได้ 3x − y − 8/3 = 0

คูณทั้งสมการด้วย 3 ได้ 9x − 3y − 8 = 0

ตอบ C

✅

22. สรุปท้ายบท

  • สมการเส้นตรงแทนกลุ่มจุดที่เรียงตัวเป็นเส้นตรง
  • จุดตัดแกน x หาโดยแทน y = 0
  • จุดตัดแกน y หาโดยแทน x = 0
  • ความชันจากสองจุดคือ (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
  • ในรูป y = mx + c ค่า m คือความชัน และ (0,c) คือจุดตัดแกน y
  • ในรูป Ax + By + C = 0 ความชันเท่ากับ −A/B เมื่อ B ไม่เท่ากับศูนย์
  • เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
  • เส้นตั้งฉากมีผลคูณความชันเท่ากับ −1
  • ตรวจว่าจุดอยู่บนเส้นหรือไม่โดยแทนพิกัดลงในสมการ
ประโยคจำก่อนสอบ

ตัดแกน x ให้ y เป็นศูนย์ ตัดแกน y ให้ x เป็นศูนย์ ขนานความชันเท่ากัน ตั้งฉากคูณกันได้ −1

กลับด้านบน